ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 161 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{2^n + 2^{n+2}}{10 \cdot 2^n}$;

б) $\frac{10^{n+2} — 10^{n-2}}{10^n}$;

в) $\frac{3^{n+1} — 3^{n-1}}{3^{n-2}}$.

а)

$$\frac{2^n+2^{n+2}}{10\cdot 2^n}=\frac{2^n+2^n\cdot 2^2}{2^n\cdot 2\cdot 5}=\frac{2^n(1+4)}{2^n\cdot 2\cdot 5}=\frac{2^n\cdot 5}{2^n\cdot 2\cdot 5}=\frac{1}{2}=\mathrm{0.5.}$$

б)

$$\frac{{10}^{n+2}-{10}^{n-2}}{{10}^n}=\frac{{10}^n\cdot {10}^2-{10}^n\cdot {10}^{-2}}{{10}^n}=\frac{{10}^n({10}^2-{10}^{-2})}{{10}^n}=$$

$$\frac{{10}^n(100-0.01)}{{10}^n}=100-0.01=\mathrm{99.99.}$$

в)

$$\frac{3^{n+1}-3^{n-1}}{3^{n+2}}=\frac{3^n\cdot 3-3^n\cdot 3^{-1}}{3^n\cdot 3^2}=\frac{3^n(3-3^{-1})}{3^n\cdot 9}=$$

а)

$$\frac{2^n+2^{n+2}}{10\cdot 2^n}$$

Шаг 1. Представим оба слагаемых в числителе с общим множителем:

$$2^{n+2}=2^n\cdot 2^2=2^n\cdot 4$$

$$2^n+2^{n+2}=2^n+2^n\cdot 4=2^n(1+4)=2^n\cdot 5$$

Шаг 2. Запишем знаменатель в виде разложения:

$$10\cdot 2^n=2\cdot 5\cdot 2^n=2^n\cdot 2\cdot 5$$

Шаг 3. Подставим всё в дробь:

$$\frac{2^n\cdot 5}{2^n\cdot 2\cdot 5}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые множители $2^n$ и $5$:

$$\frac{1}{2}$$

Шаг 5. Переведём в десятичную дробь:

$$0.5$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0.5}}$

б)

$$\frac{{10}^{n+2}-{10}^{n-2}}{{10}^n}$$

Шаг 1. Представим числитель с общим множителем:

$${10}^{n+2}={10}^n\cdot {10}^2,{10}^{n-2}={10}^n\cdot {10}^{-2}$$$${10}^n\cdot {10}^2-{10}^n\cdot {10}^{-2}={10}^n({10}^2-{10}^{-2})$$

Шаг 2. Запишем дробь:

$$\frac{{10}^n({10}^2-{10}^{-2})}{{10}^n}$$

Шаг 3. Сократим ${10}^n$:

$${10}^2-{10}^{-2}$$

Шаг 4. Вычислим:

$${10}^2=100,{10}^{-2}=\frac{1}{100}=0.01$$$$100-0.01=99.99$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 99.99}}$

в)

$$\frac{3^{n+1}-3^{n-1}}{3^{n+2}}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель:

$$3^{n+1}=3^n\cdot 3,3^{n-1}=3^n\cdot 3^{-1}$$$$3^n\cdot 3-3^n\cdot 3^{-1}=3^n(3-3^{-1})$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель:

$$3^{n+2}=3^n\cdot 3^2$$

Шаг 3. Подставим в дробь:

$$\frac{3^n(3-3^{-1})}{3^n\cdot 9}$$

Шаг 4. Сократим $3^n$:

$$\frac{3-\frac{1}{3}}{9}$$

Шаг 5. Вычтем в числителе:

$$3-\frac{1}{3}=\frac{9}{3}-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$$

Шаг 6. Разделим дробь:

$$\frac{\frac{8}{3}}{9}=\frac{8}{3\cdot 9}=\frac{8}{27}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{8}{27}}}$