ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 160 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{a^{-1} + a^{-2} + a^{-3}}{a^3 + a^2 + a}$;

б) $\frac{1 + d^3 + d^5}{d^{-6} + d^{-3} + d^{-1}}$.

а)

$$\frac{a^{-1}+a^{-2}+a^{-3}}{a^3+a^2+a}=\frac{a^{-4}(a^3+a^2+a)}{a^3+a^2+a}=a^{-4}\mathrm{.}$$

б)

$$\frac{1+d^3+d^5}{d^{-6}+d^{-3}+d^{-1}}=\frac{d^6(1+d^3+d^5)}{d^6(d^{-6}+d^{-3}+d^{-1})}=\frac{d^6(1+d^3+d^5)}{1+d^3+d^5}=d^6\mathrm{.}$$

а)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{a^{-1}+a^{-2}+a^{-3}}{a^3+a^2+a}$$

Шаг 1. Перепишем числитель в виде произведения:

$$a^{-1}+a^{-2}+a^{-3}=a^{-4}(a^3+a^2+a)$$

Пояснение: общий множитель $a^{-4}$ вынесен за скобки:

$$a^{-4}(a^3+a^2+a)=a^{-4}\cdot a^3+a^{-4}\cdot a^2+a^{-4}\cdot a=a^{-1}+a^{-2}+a^{-3}$$

Подтверждение: распределительное свойство работает, значит преобразование верно.

Шаг 2. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$$\frac{a^{-4}(a^3+a^2+a)}{a^3+a^2+a}$$

Шаг 3. Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе:

$$=a^{-4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a^{-4}}}$$

б)
Рассмотрим выражение:

$$\frac{1+d^3+d^5}{d^{-6}+d^{-3}+d^{-1}}$$

Шаг 1. Заметим, что в знаменателе можно вынести общий множитель $d^{-6}$:

$$d^{-6}+d^{-3}+d^{-1}=d^{-6}(1+d^3+d^5)$$

Проверка:

$$d^{-6}\cdot 1=d^{-6},d^{-6}\cdot d^3=d^{-3},d^{-6}\cdot d^5=d^{-1}$$

Все члены восстановились, значит разложение верное.

Шаг 2. Перепишем дробь, домножив числитель и знаменатель на $d^6$:

$$\frac{1+d^3+d^5}{d^{-6}+d^{-3}+d^{-1}}=\frac{d^6(1+d^3+d^5)}{d^6(d^{-6}+d^{-3}+d^{-1})}$$

Шаг 3. Используем результат из шага 1:

$$=\frac{d^6(1+d^3+d^5)}{1+d^3+d^5}$$

Шаг 4. Сократим одинаковые выражения:

$$=d^6$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle d^6}}$$