ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 16 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, имеет ли смысл выражение $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$ при $x = 0$; $x = 1$; $x = -1$; $x = \frac{1}{2}$. Если имеет, то найдите его значение.

$$\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}};$$

$x-\frac{1}{x}\mathrm{\ne }0,\frac{1}{x}\mathrm{\ne }0$

$x^2-1\mathrm{\ne }0x\mathrm{\ne }0$

$x^2\mathrm{\ne }1$

$x\mathrm{\ne }\pm 1$.

Значит, значение выражения имеет смысл при $x=\frac{1}{2}$:

Ответ: при $x=\frac{1}{2}$ значение выражения равно $-1$.

Рассмотрим выражение:

$$\frac{x — 1 + \frac{1}{x}}{x — \frac{1}{x}}.$$

Для того чтобы выяснить, имеет ли смысл это выражение при различных значениях $x$, рассмотрим следующие моменты.

При $x = 0$:
В выражении присутствует дробь с $\frac{1}{x}$, и если $x = 0$, то дробь становится неопределенной, поскольку деление на ноль невозможно. Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = 0$.

При $x = 1$:
Подставим $x = 1$ в исходное выражение:

$$\frac{1 — 1 + \frac{1}{1}}{1 — \frac{1}{1}} = \frac{0 + 1}{1 — 1} = \frac{1}{0}.$$

Мы получаем деление на ноль, что также делает выражение неопределенным. Следовательно, выражение не имеет смысла при $x = 1$.

При $x = -1$:
Подставим $x = -1$ в исходное выражение:

$$\frac{-1 — 1 + \frac{1}{-1}}{-1 — \frac{1}{-1}} = \frac{-2 — 1}{-1 + 1} = \frac{-3}{0}.$$

Мы снова получаем деление на ноль, что делает выражение неопределенным. Следовательно, выражение не имеет смысла при $x = -1$.

При $x = \frac{1}{2}$:
Подставим $x = \frac{1}{2}$ в исходное выражение:

$$\frac{\frac{1}{2} — 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2} — \frac{1}{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2} — 1 + 2}{\frac{1}{2} — 2}.$$

Упростим числитель и знаменатель:

$$\frac{\frac{1}{2} — \frac{2}{2} + \frac{4}{2}}{\frac{1}{2} — \frac{4}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} = -1.$$

Таким образом, выражение имеет смысл при $x = \frac{1}{2}$, и его значение равно $-1$.

Ответ: при $x = \frac{1}{2}$ значение выражения равно $-1$.