ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 159 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) $\frac{5^{n+1} \cdot 3^{n-1}}{15^n}$;
б) $\frac{14^n}{2^{n-2} \cdot 7^{n+2}}$;
в) $\frac{12^n}{2^{2n+1} \cdot 3^{n-1}}$;
г) $\frac{2^{2n-1} \cdot 5^{2n+1}}{100^n}$.

a) $\frac{5^{n+1}\cdot 3^{n-1}}{{15}^n}=\frac{5^n\cdot 5\cdot 3^n\cdot 3^{-1}}{5^n\cdot 3^n}=5\cdot 3^{-1}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$;

б) $\frac{{14}^n}{2^{n-2}\cdot 7^{n+2}}=\frac{2^n\cdot 7^n}{2^{n-2}\cdot 7^n\cdot 7^2}=\frac{2^2}{7^2}=\frac{4}{49}$;

в) $\frac{{12}^n}{2^{2n+1}\cdot 3^{n-1}}=\frac{2^n\cdot 2^n\cdot 3^n}{2^{2n}\cdot 2\cdot 3^n\cdot 3^{-1}}=\frac{3}{2}=1,5$;

г) $\frac{2^{2n-1}\cdot 5^{2n+1}}{{100}^n}=\frac{2^{2n}\cdot 2^{-1}\cdot 5^{2n}\cdot 5}{2^{2n}\cdot 5^n\cdot 5^n}=\frac{5}{2}=2,5$.

a) $\frac{5^{n+1}\cdot 3^{n-1}}{{15}^n}$

Представим ${15}^n$ как произведение $15=5\cdot 3$, то есть:

$${15}^n=(5\cdot 3{)}^n=5^n\cdot 3^n$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{5^{n+1}\cdot 3^{n-1}}{{15}^n}=\frac{5^{n+1}\cdot 3^{n-1}}{5^n\cdot 3^n}$$

Разделим степеня с одинаковыми основаниями:

$$=\frac{5^{n+1}}{5^n}\cdot \frac{3^{n-1}}{3^n}=5^{(n+1)-n}\cdot 3^{(n-1)-n}=5^1\cdot 3^{-1}$$

Упростим:

$$5\cdot 3^{-1}=5\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$

Преобразуем в смешанное число:

$$\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$$

Ответ: $1\frac{2}{3}$

б) $\frac{{14}^n}{2^{n-2}\cdot 7^{n+2}}$

Представим ${14}^n$ как произведение $14=2\cdot 7$, то есть:

$${14}^n=(2\cdot 7{)}^n=2^n\cdot 7^n$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{{14}^n}{2^{n-2}\cdot 7^{n+2}}=\frac{2^n\cdot 7^n}{2^{n-2}\cdot 7^{n+2}}$$

Разделим степеня с одинаковыми основаниями:

$$=\frac{2^n}{2^{n-2}}\cdot \frac{7^n}{7^{n+2}}=2^{n-(n-2)}\cdot 7^{n-(n+2)}=2^2\cdot 7^{-2}$$

Упростим:

$$2^2=4,7^{-2}=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49}$$

Получаем итоговый результат:

$$4\cdot \frac{1}{49}=\frac{4}{49}$$

Ответ: $\frac{4}{49}$

в) $\frac{{12}^n}{2^{2n+1}\cdot 3^{n-1}}$

Представим ${12}^n$ как произведение $12=2^2\cdot 3$, то есть:

$${12}^n=(2^2\cdot 3{)}^n=2^{2n}\cdot 3^n$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{{12}^n}{2^{2n+1}\cdot 3^{n-1}}=\frac{2^{2n}\cdot 3^n}{2^{2n+1}\cdot 3^{n-1}}$$

Разделим степеня с одинаковыми основаниями:

$$=\frac{2^{2n}}{2^{2n+1}}\cdot \frac{3^n}{3^{n-1}}=2^{2n-(2n+1)}\cdot 3^{n-(n-1)}=2^{-1}\cdot 3^1$$

Упростим:

$$2^{-1}=\frac{1}{2},3^1=3$$

Получаем итоговый результат:

$$\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}=1,5$$

Ответ: $1,5$

г) $\frac{2^{2n-1}\cdot 5^{2n+1}}{{100}^n}$

Представим ${100}^n$ как $100={10}^2=2^2\cdot 5^2$, то есть:

$${100}^n=(2^2\cdot 5^2{)}^n=2^{2n}\cdot 5^{2n}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{2^{2n-1}\cdot 5^{2n+1}}{{100}^n}=\frac{2^{2n-1}\cdot 5^{2n+1}}{2^{2n}\cdot 5^{2n}}$$

Разделим степеня с одинаковыми основаниями:

$$=\frac{2^{2n-1}}{2^{2n}}\cdot \frac{5^{2n+1}}{5^{2n}}=2^{(2n-1)-2n}\cdot 5^{(2n+1)-2n}=2^{-1}\cdot 5^1$$

Упростим:

$$2^{-1}=\frac{1}{2},5^1=5$$

Получаем итоговый результат:

$$\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}=2,5$$

Ответ: $2,5$