ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 157 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) $3^{10} \cdot 81^3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{10}$;
б) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-25} \cdot 25^{-6} \cdot 125^{-4}$;

в) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 32^{-2}}$;

г) $\frac{20^{-4} \cdot 15^{-3}}{30^{-7}}$.

а)

$$3^{10}\cdot {81}^3\cdot {\left(\frac{1}{9}\right)}^{10}=3^{10}\cdot (3^4{)}^3\cdot {\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)}^{10}=3^{10}\cdot 3^{12}\cdot 3^{-20}=$$

$$=3^{10+12-20}=3^2=9.$$

б)

$${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-25}\cdot {25}^{-6}\cdot {125}^{-4}=5^{25}\cdot (5^2{)}^{-6}\cdot (5^3{)}^{-4}=$$

$$=5^{25}\cdot 5^{-12}\cdot 5^{-12}=5^{25-12-12}=5^1=5.$$

в)

$$\frac{6^{-10}}{{81}^{-2}\cdot {32}^{-2}}=\frac{(2\cdot 3{)}^{-10}}{(3^4{)}^{-2}\cdot (2^5{)}^{-2}}=\frac{2^{-10}\cdot 3^{-10}}{3^{-8}\cdot 2^{-10}}=3^{-2}=\frac{1}{9}\mathrm{.}$$

г)

$$\frac{{20}^4\cdot {15}^{-3}}{{30}^{-7}}=\frac{(2^2\cdot 5{)}^{-4}\cdot (3\cdot 5{)}^{-3}}{(2\cdot 3\cdot 5{)}^{-7}}=\frac{2^{-8}\cdot 5^{-4}\cdot 3^{-3}\cdot 5^{-3}}{2^{-7}\cdot 3^{-7}\cdot 5^{-7}}=$$

$$=2^{-1}\cdot 3^4=0,5\cdot {81}^{}={\mathrm{40,5}}^{}$$

а)

$$3^{10}\cdot {81}^3\cdot {\left(\frac{1}{9}\right)}^{10}=?$$

1) Представим числа 81 и 9 как степени тройки:

$$81=3^4,9=3^2$$

2) Подставляем:

$$3^{10}\cdot (3^4{)}^3\cdot {\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)}^{10}$$

3) Возводим степень в степень:

$$3^{10}\cdot 3^{12}\cdot 3^{-20}$$

4) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$3^{10+12-20}=3^2$$

5) Вычисляем:

$$3^2=9$$

б)

$${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-25}\cdot {25}^{-6}\cdot {125}^{-4}=?$$

1) Представляем числа 25 и 125 как степени пятёрки:

$$25=5^2,125=5^3$$

2) Переписываем выражение:

$$5^{25}\cdot (5^2{)}^{-6}\cdot (5^3{)}^{-4}$$

3) Возводим степень в степень:

$$5^{25}\cdot 5^{-12}\cdot 5^{-12}$$

4) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$5^{25-12-12}=5^1$$

5) Значение:

$$5^1=5$$

в)

$$\frac{6^{-10}}{{81}^{-2}\cdot {32}^{-2}}=?$$

1) Разложим числа на простые основания:

$$6=2\cdot 3,81=3^4,32=2^5$$

2) Перепишем:

$$\frac{(2\cdot 3{)}^{-10}}{(3^4{)}^{-2}\cdot (2^5{)}^{-2}}=\frac{2^{-10}\cdot 3^{-10}}{3^{-8}\cdot 2^{-10}}$$

3) Делим степени с одинаковыми основаниями:

$$\frac{2^{-10}}{2^{-10}}=2^0=1,\frac{3^{-10}}{3^{-8}}=3^{-10+8}=3^{-2}$$

4) Итог:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$$

г)

$$\frac{{20}^4\cdot {15}^{-3}}{{30}^{-7}}=?$$

1) Разложим числа на простые множители:

$$20=2^2\cdot 5,15=3\cdot 5,30=2\cdot 3\cdot 5$$

2) Перепишем выражение:

$$\frac{(2^2\cdot 5{)}^4\cdot (3\cdot 5{)}^{-3}}{(2\cdot 3\cdot 5{)}^{-7}}=\frac{2^8\cdot 5^4\cdot 3^{-3}\cdot 5^{-3}}{2^{-7}\cdot 3^{-7}\cdot 5^{-7}}$$

3) Делим степени с одинаковыми основаниями (вычитаем показатели):

$$2^{8-(-7)}\cdot 3^{-3-(-7)}\cdot 5^{4-(-7)-3}=2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^8$$