ГДЗ по Алгебра 7 Класс Проверьте себя Глава 8 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Укажите общий множитель, который можно вынести за скобки в многочлене \(6xy^2 — 15xy + 12x^2y\).
1) \(6xy^2\) 2) \(6xy\) 3) \(3xy^2\) 4) \(3xy\)

2. Дан многочлен \(8ab — 10ac\). Вынесите за скобки множитель \(-2a\).
1) \(-2a(4ab — 5ac)\) 2) \(-2a(4b + 5c)\) 3) \(-2a(5c — 4b)\) 4) \(-2a(5ac — 4ab)\)

3. Сократите дробь \(\frac{ax — 2a}{ax}\)

4. В каких случаях выражение \(a(a — y) + x(y — a)\) разложено на множители правильно?
1) \((a — y)(a — x)\) 2) \((y — a)(x — a)\) 3) \((a — y)(x — a)\) 4) \((y — a)(a — x)\)

5. Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен \(xy — 2xy^2 — 6x \ldots\), чтобы его можно было разложить на множители способом группировки?
1) \(+12y\) 2) \(+6y\) 3) \(-2y\) 4) \(-12y\)

6. Для разложения многочлена \(8a^2 — 4a + 2ax — x\) на множители его члены сгруппировали:
1) \((8a^2 — 4a) + (2ax — x)\)
2) \((8a^2 + 2ax) — (4a + x)\)
3) \((8a^2 — x) — (4a — 2ax)\)

Какие из этих способов группировки подходят для того, чтобы выполнить разложение на множители?

7. Разложите на множители многочлен \(xy — 3xy — x^2 + 3z\).

8. Какое из выражений нельзя разложить на множители, используя формулу разности квадратов?
1) \(8x^2 — y^2\) 2) \(0,012 — b^2\) 3) \(9c^4 — 16\) 4) \(25m^2 — 81n^2\)

9. Разложите на множители \(0,25x^2y^2 — z^2\).

10. Сократите дробь \(\frac{4a^2 — 4a + 1}{4a^2 — 1}\).
1) \(\frac{1}{2a+1}\) 2) \(\frac{2a-1}{2a+1}\) 3) \(\frac{1}{4a+1}\) 4) \(\frac{4a-1}{4a+1}\)

11. Упростите выражение \((c — 2)(c + 2) — (c — 1)^2\).
1) \(2c — 5\) 2) \(-2c — 3\) 3) \(-3\) 4) \(-1\)

12. Какой двучлен можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов?
1) \(9x^3 + 27a^3\) 2) \(9x^3 — 27a^3\) 3) \(8x^3 + 27a^3\) 4) \(8x^3 — 27a^3\)

13. Закончите разложение на множители: \(64m^3 — 1 = (4m — 1)( \ldots )\).
1) \(m^2 + m + 1\) 2) \(16m^2 + 8m + 1\) 3) \(16m^2 + 4m + 1\) 4) \(16m^2 — 4m + 1\)

14. Разложите на множители \(y^4 — 81\).

15. Какой из способов не применяется при разложении на множители многочлена \(2a^2 — 2ab — 6a^2 + 6b^2\)?
1) вынесение за скобки общего множителя
2) группировка
3) формула разности квадратов
4) формула квадрата разности

16. Какое из утверждений неверно?
1) если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю
2) если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение равно нулю
3) если хотя бы одно из двух чисел не равно нулю, то произведение этих чисел не равно нулю
4) если произведение двух чисел не равно нулю, то ни одно из этих чисел не равно нулю

17. Решите уравнение \((x — 2)(2x + 6) = 0\).
1) \(x = 2\) 2) \(x = -3\) 3) \(x = 2, x = -3\) 4) \(x = -2, x = 3\)

18. Найдите корни уравнения \(x^3 — 9x = 0\).

1. Вынесен общий множитель \(3xy\):
\(6xy^2 — 15xy + 12x^2y = 3xy(2y — 5 + 4x)\).
Ответ: 4).

2. Вынесен множитель \(-2a\):
\(8ab — 10ac = -2a(-4b + 5c) = -2a(5c — 4b)\).
Ответ: 3).

3. Сокращена дробь:
\(\frac{ax — 2a}{ax} = \frac{a(x — 2)}{ax} = \frac{x — 2}{x}\).

4. Преобразовано выражение:
\(a(a — y) + x(y — a) = (a — y)(a — x)\).
Правильны варианты 1) и 2).

5. Многочлен разложен методом группировки:
\(x^2 y — 2xy^2 — 6x + 12y = (x — 2y)(xy — 6)\).
Ответ: 1).

6. Многочлен сгруппирован двумя способами:
\((8a^2 — 4a) + (2ax — x) = (2a — 1)(4a + x)\),
\((8a^2 + 2ax) — (4a + x) = (4a + x)(2a — 1)\).
Ответ: 1) и 2).

7. Многочлен разложен методом группировки:
\((x^2 y — 3xy) — (xz — 3z) = (x — 3)(xy — z)\).

8. Формула разности квадратов не применяется к \(8x^2 — y^2\), так как \(8x^2\) не полный квадрат.
Ответ: 1).

9. Использована формула разности квадратов:
\(0,25x^2 y^2 — z^2 = (0,5xy — z)(0,5xy + z)\).

10. Сокращена дробь:
\(\frac{4a^2 — 4a + 1}{4a^2 — 1} = \frac{(2a — 1)^2}{(2a — 1)(2a + 1)} = \frac{2a — 1}{2a + 1}\).
Ответ: 2).

11. Упрощено выражение:
\((c — 2)(c + 2) — (c — 1)^2 = 2c — 5\).
Ответ: 1).

12. Формула суммы кубов применима к \(8x^3 + 27a^3\).
Ответ: 3).

13. Разложение разности кубов:
\(64m^3 — 1 = (4m — 1)(16m^2 + 4m + 1)\).
Ответ: 3).

14. Разложение разности квадратов:
\(y^4 — 81 = (y — 3)(y + 3)(y^2 + 9)\).

15. Не применялась формула квадрата разности.
Ответ: 4).

16. Неверно утверждение 3).

17. Решение уравнения:
\((x — 2)(2x + 6) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = -3\).
Ответ: 3).

18. Решение уравнения:
\(x^3 — 9x = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 3\).
Ответ: \(x = \pm 3; x = 0\).

1. Чтобы вынести общий множитель из многочлена \(6xy^2 — 15xy + 12x^2y\), нужно найти такой множитель, который содержится во всех слагаемых. Рассмотрим каждый член: в первом есть множитель \(6xy^2\), во втором — \(15xy\), в третьем — \(12x^2y\). Общими множителями являются \(3xy\), так как \(3\) делит все коэффициенты (6, 15, 12), а переменные \(x\) и \(y\) присутствуют во всех слагаемых хотя бы в первой степени. Вынесем \(3xy\) за скобки:
\(6xy^2 — 15xy + 12x^2y = 3xy(2y — 5 + 4x)\).
Ответ: 4).

2. Для вынесения множителя \(-2a\) из многочлена \(8ab — 10ac\) нужно представить каждый член как произведение \(-2a\) на другое выражение. Заметим, что \(8ab = -2a \cdot (-4b)\), а \( -10ac = -2a \cdot 5c\). Значит,
\(8ab — 10ac = -2a(-4b + 5c)\).
Далее заметим, что \( -4b + 5c = 5c — 4b\) с изменением знаков, поэтому можно записать:
\(8ab — 10ac = -2a(5c — 4b)\).
Ответ: 3).

3. Для сокращения дроби \(\frac{ax — 2a}{ax}\) сначала вынесем \(a\) в числителе:
\(\frac{a(x — 2)}{ax}\).
Далее сократим \(a\) в числителе и знаменателе:
\(\frac{x — 2}{x}\).
Таким образом, дробь упрощается до \(\frac{x — 2}{x}\).

4. Выражение \(a(a — y) + x(y — a)\) можно преобразовать, раскрывая скобки:
\(a(a — y) + x(y — a) = a^2 — ay + xy — xa\).
Перегруппируем члены:
\(a^2 — ay — xa + xy = a(a — y) — x(a — y) = (a — y)(a — x)\).
Аналогично можно рассмотреть выражение \(a(a — y) — x(a — y) = (a — y)(a — x)\).
Таким образом, правильны варианты 1) и 2).

5. Для разложения многочлена \(x^2 y — 2xy^2 — 6x + 12y\) методом группировки нужно найти одночлен, который позволит сгруппировать выражение. Подставим \(12y\) для проверки:
\(x^2 y — 2xy^2 — 6x + 12y = xy(x — 2y) — 6(x — 2y) = (x — 2y)(xy — 6)\).
Это разложение на множители, значит ответ: 1).

6. Многочлен \(8a^2 — 4a + 2ax — x\) можно сгруппировать двумя способами:
Первый способ:
\((8a^2 — 4a) + (2ax — x) = 4a(2a — 1) + x(2a — 1) = (2a — 1)(4a + x)\).
Второй способ:
\((8a^2 + 2ax) — (4a + x) = 2a(4a + x) — (4a + x) = (4a + x)(2a — 1)\).
Оба способа дают правильное разложение, ответ: 1) и 2).

7. Разложим многочлен \(x^2 y — 3xy — xz + 3z\) методом группировки:
\((x^2 y — 3xy) — (xz — 3z) = xy(x — 3) — z(x — 3) = (x — 3)(xy — z)\).
Аналогично:
\((x^2 y — xz) — (3xy — 3z) = x(yx — z) — 3(yx — z) = (xy — z)(x — 3)\).

8. Формула разности квадратов применяется к выражениям вида \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\), где и \(A\), и \(B\) должны быть квадратами. В выражении \(8x^2 — y^2\) первая часть \(8x^2\) не является полным квадратом, так как \(8\) не является квадратом целого числа. Поэтому формулу применить нельзя.
Ответ: 1).

9. Для разложения \(0,25x^2 y^2 — z^2\) используем формулу разности квадратов:
\(0,25x^2 y^2 = (0,5xy)^2\), \(z^2 = z^2\), значит:
\(0,25x^2 y^2 — z^2 = (0,5xy — z)(0,5xy + z)\).

10. Сократим дробь \(\frac{4a^2 — 4a + 1}{4a^2 — 1}\):
Числитель \(4a^2 — 4a + 1 = (2a — 1)^2\), знаменатель \(4a^2 — 1 = (2a — 1)(2a + 1)\), значит:
\(\frac{(2a — 1)^2}{(2a — 1)(2a + 1)} = \frac{2a — 1}{2a + 1}\).
Ответ: 2).

11. Упростим выражение:
\((c — 2)(c + 2) — (c — 1)^2 = c^2 — 4 — (c^2 — 2c + 1) =\)
\(= c^2 — 4 — c^2 + 2c — 1 = 2c — 5\).
Ответ: 1).

12. Формула суммы кубов применима к выражению вида \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2)\). Из вариантов только \(8x^3 + 27a^3 = (2x)^3 + (3a)^3\) подходит.
Ответ: 3).

13. Разложение \(64m^3 — 1\) по формуле разности кубов:
\(64m^3 — 1 = (4m)^3 — 1^3 = (4m — 1)(16m^2 + 4m + 1)\).
Ответ: 3).

14. Многочлен \(y^4 — 81\) — разность квадратов:
\(y^4 — 81 = (y^2 — 9)(y^2 + 9)\).
Далее \(y^2 — 9 = (y — 3)(y + 3)\), значит:
\(y^4 — 81 = (y — 3)(y + 3)(y^2 + 9)\).

15. Многочлен \(2a^2 — 2ab — 6a^2 + 6b^2\) разложим группировкой и вынесением общего множителя:
\(2a^2 — 2ab — 6a^2 + 6b^2 = 2(a^2 — ab — 3a^2 + 3b^2) =\)
\(= 2(a(a — b) — 3(a^2 — b^2)) = 2(a(a — b) — 3(a — b)(a + b)) =\)
\(= 2(a — b)(a — 3(a + b))\).
Формула квадрата разности не применялась.
Ответ: 4).

16. Неверно утверждение 3), так как если хотя бы одно из чисел не равно нулю, произведение может быть равно нулю, если другое число равно нулю.

17. Решим уравнение \((x — 2)(2x + 6) = 0\):
\(x — 2 = 0\) значит \(x = 2\),
\(2x + 6 = 0\) значит \(x = -3\).
Ответ: 3).

18. Решим уравнение \(x^3 — 9x = 0\):
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(x^2 — 9) = 0\),
отсюда \(x = 0\) или \(x^2 — 9 = 0\),
что даёт \(x = \pm 3\).
Ответ: \(x = \pm 3; x = 0\).