ГДЗ по Алгебра 7 Класс Проверьте себя Глава 7 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

№ 1

Найдите значение выражения \(6a^2 — 2a — 1\) при \(a = -\frac{1}{4}\).

№ 2

Какова степень многочлена \(0,3x^2 — 2x^4 + 1,2\)?
1) 2 2) 3 3) 4 4) 6

№ 3

Какую степень имеет многочлен, равный произведению многочленов \((x^2 + 3)(x^3 + 2x — 1)\)?
1) 2 2) 3 3) 5 4) 6

№ 4

Упростите выражение \(2x^2y — xy^2 + x^2y — 3xy^2 + 2xy\).

№ 5

Среди выражений, записанных ниже, найдите выражение, равное многочлену \(2x — 3y — z\).
1) \(-(2x — 3y — z)\) 3) \(-(3y — 2x + z)\)
2) \(-(2x + 3y + z)\) 4) \(-(3y + 2x — z)\)

№ 6

Среди приведённых ниже выражений найдите выражение, противоположное многочлену \(5a — 8b + 1\).
1) \(5a + 8b — 1\) 3) \(-5a + 8b + 1\)
2) \(-5a + 8b — 1\) 4) \(-5a — 8b — 1\)

№ 7

Какой многочлен надо записать вместо многоточия, чтобы равенство было верным: \((-m + n — q) + … = 0\)?
1) \(m — n + q\) 3) \(m + n — q\)
2) \(m — n — q\) 4) \(-m — n + q\)

№ 8

Найдите сумму многочленов \(2x^3 — 2x\) и \(-x^2 + 2x — 1\).

№ 9

В выражение \(p — q\) подставьте \(p = 12ab — 15ac\), \(q = 10ab — 15ac + 2bc\) и упростите получившееся выражение.

№ 10

Упростите выражение \(5a^2 — 5a(a — 2)\).

№ 11

Собственная скорость катера \(v\) км/ч, скорость течения реки \(a\) км/ч. Катер плыл 3 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое из следующих утверждений верно?
1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч
2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде
3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде
4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

№ 12

Выполните умножение \((2a + 3)(4a — 6)\).

№ 13

Какое из выражений противоположно произведению \((a — b)(a — c)\)?
1) \((b — a)(c — a)\) 3) \((b — a)(a — c)\)
2) \(- (a — b)(c — a)\) 4) \(- (b — a)(a — c)\)

№ 14

Раскройте скобки в выражении \((2x — 5y)^2\).
1) \(4x^2 — 25y^2\) 3) \(4x^2 — 10xy + 25y^2\)
2) \(2x^2 — 10xy + 5y^2\) 4) \(4x^2 — 20xy + 25y^2\)

№ 15

Упростите выражение \(3(m — 2)^2 + 12m\).

№ 16

Даны выражения:
А) \((a — 5)^2\) Б) \((5 — a)^2\) В) \(- (a — 5)^2\) Г) \(- (5 — a)^2\)
Какие из них равны произведению \((a — 5)(5 — a)\)?
1) А и Б 2) А и В 3) Б и Г 4) В и Г

№ 17

Упростите выражение \((1 + xy)^2 — (1 — xy)^2\).
1) 0 2) \(2xy + 2x^2y^2\) 3) \(2x^2y^2\) 4) \(4xy\)

№ 18

Решите уравнение \(2(x — 1) — 7 = 5x — 5\).

№ 19

Из палаточного лагеря к станции вышел турист со скоростью 6 км/ч. Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его. Чему равно расстояние от лагеря до станции? Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой \(x\) в нём обозначено время движения туриста в часах?
1) \(12x = 6 \left(x + \frac{1}{3}\right)\)
2) \(6x = 12 \left(x — \frac{1}{3}\right)\)
3) \(12x = 6 \left(x — \frac{1}{6}\right)\)
4) \(6x = 12 \left(x + \frac{1}{6}\right)\)

№ 20

Найдите ответ на вопрос задачи, сформулированной в задании 19.
1) \(\frac{2}{3}\) км 2) 4 км 3) \(\frac{1}{3}\) км 4) 2 км

1. Подставляем \(a = -\frac{1}{4}\) в выражение \(6a^2 — 2a — 1\):

\(6 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 — 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) — 1 = 6 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{2} — 1 = \frac{3}{8} + \frac{4}{8} — \frac{8}{8} = -\frac{1}{8}\).

Ответ: \(-\frac{1}{8}\).

2. Степень многочлена \(0,3x^2 — 2x^4 + 1,2\) равна 4 (наибольшая степень переменной).

Ответ: 3.

3. Раскрываем произведение:

\((x^2 + 3)(x^3 + 2x — 1) = x^5 + 3x^3 + 2x^3 + 6x — x^2 — 3 =\)
\(= x^5 + 5x^3 — x^2 + 6x — 3\).

Степень многочлена 5.

Ответ: 3.

4. Суммируем одночлены:

\(2x^2y — xy^2 + x^2y — 3xy^2 + 2xy = 3x^2y — 4xy^2 + 2xy\).

5. Раскрываем скобки:

\(2x — 3y — z = -(3y — 2x + z) = -3y + 2x — z\).

Ответ: 3.

6. Противоположное выражение:

\(5a — 8b + 1 \to -5a + 8b — 1\).

Ответ: 2.

7. Складываем:

\((-m + n — q) + (m — n + q) = 0\).

Ответ: 1.

8. Складываем многочлены:

\((2x^3 — 2x) + (-x^2 + 2x — 1) = 2x^3 — x^2 — 1\).

9. Вычитание:

\(p — q = (12ab — 15ac) — (10ab — 15ac + 2bc) = 2ab — 2bc\).

10. Раскрываем скобки:

\(5a^2 — 5a(a — 2) = 5a^2 — 5a^2 + 10a = 10a\).

11. Суммируем расстояния:

\(3(v + a) + 3(v — a) = 6v\).

Ответ: утверждение 3 верно.

12. Раскрываем скобки:

\((2a + 3)(4a — 6) = 8a^2 + 12a — 12a — 18 = 8a^2 — 18\).

13. Проверяем выражения, правильное — 3:

\((b — a)(a — c) = -a^2 + ab + ac — bc\).

14. Формула квадрата разности:

\((2x — 5y)^2 = 4x^2 — 20xy + 25y^2\).

Ответ: 4.

15. Раскрываем скобки:

\(3(m — 2)^2 + 12m = 3(m^2 — 4m + 4) + 12m = 3m^2 + 12\).

16. Умножение:

\((a — 5)(5 — a) = -(a — 5)^2\).

Ответ: 4.

17. Разность квадратов:

\((1 + xy)^2 — (1 — xy)^2 = 4xy\).

Ответ: 4.

18. Решаем уравнение:

\(2(x — 1) — 7 = 5x — 5\),

\(2x — 9 = 5x — 5\),

\(-3x = 4\),

\(x = -\frac{4}{3} = -1 \frac{1}{3}\).

Ответ: \(x = -1 \frac{1}{3}\).

19. Составляем уравнение:

\(6 = 12\left(x — \frac{1}{3}\right)\).

Ответ: 2.

20. Решаем уравнение:

\(6x = 12\left(x — \frac{1}{3}\right)\),

\(6x = 12x — 4\),

\(-6x = -4\),

\(x = \frac{2}{3}\).

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

1. Рассмотрим выражение \(6a^2 — 2a — 1\), в которое необходимо подставить значение \(a = -\frac{1}{4}\). Для начала вычислим квадрат \(a^2\). Поскольку \(a = -\frac{1}{4}\), то \(a^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\). Теперь подставим это значение в исходное выражение: \(6 \cdot \frac{1}{16} — 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) — 1\).

Далее выполним умножение и сложение. Умножение \(6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\). Умножение \(-2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\) даёт положительный результат, так как два минуса дают плюс, и равно \(\frac{1}{2}\). Теперь у нас есть сумма: \(\frac{3}{8} + \frac{1}{2} — 1\).

Для удобства сложения приведём все слагаемые к общему знаменателю 8: \(\frac{3}{8} + \frac{4}{8} — \frac{8}{8} = \frac{3 + 4 — 8}{8} = \frac{-1}{8}\). Таким образом, итоговый ответ равен \(-\frac{1}{8}\).

2. Рассмотрим многочлен \(0,3x^2 — 2x^4 + 1,2\). Степень многочлена определяется наибольшей степенью переменной \(x\) в каждом слагаемом. В данном случае слагаемые имеют степени: \(x^2\) во втором слагаемом, \(x^4\) во втором, и константа без переменной.

Наибольшая степень среди них — это степень 4 в слагаемом \(-2x^4\). Следовательно, степень всего многочлена равна 4. Однако в ответе указано 3, что является ошибкой, так как степень должна соответствовать максимальной степени переменной, а не среднему значению или количеству слагаемых.

3. Раскроем произведение \((x^2 + 3)(x^3 + 2x — 1)\). Для этого каждое слагаемое из первого многочлена умножим на каждый член второго многочлена и сложим результаты. Начнём с \(x^2\):

\(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\),

\(x^2 \cdot 2x = 2x^{2+1} = 2x^3\),

\(x^2 \cdot (-1) = -x^2\).

Теперь умножим 3 на каждый член второго многочлена:

\(3 \cdot x^3 = 3x^3\),

\(3 \cdot 2x = 6x\),

\(3 \cdot (-1) = -3\).

Сложим все полученные слагаемые:

\(x^5 + 2x^3 — x^2 + 3x^3 + 6x — 3\).

Объединим подобные члены:

\(x^5 + (2x^3 + 3x^3) — x^2 + 6x — 3 = x^5 + 5x^3 — x^2 + 6x — 3\).

Степень полученного многочлена равна 5, так как максимальная степень переменной \(x\) — 5. В ответе указано 3, что неверно, так как степень определяется максимальной степенью, а не суммой коэффициентов или количеством слагаемых.

4. Рассмотрим сумму одночленов \(2x^2y — xy^2 + x^2y — 3xy^2 + 2xy\). Для упрощения нужно сгруппировать подобные одночлены, то есть те, которые имеют одинаковые переменные в одинаковой степени.

Одночлены с \(x^2y\): \(2x^2y\) и \(x^2y\), сумма которых равна \(3x^2y\).

Одночлены с \(xy^2\): \(-xy^2\) и \(-3xy^2\), сумма которых равна \(-4xy^2\).

Одночлен \(2xy\) не имеет подобных, остаётся как есть.

Итоговая сумма: \(3x^2y — 4xy^2 + 2xy\).

5. Раскроем скобки в выражении \(2x — 3y — z = -(3y — 2x + z)\). Сначала обратим внимание на знак минус перед скобками, который меняет знаки всех членов внутри скобок.

Внутри скобок у нас \(3y — 2x + z\). При раскрытии скобок с минусом:

\(- (3y — 2x + z) = -3y + 2x — z\).

Таким образом, выражение \(2x — 3y — z\) равно \(-3y + 2x — z\). В ответе указано число 3, что, вероятно, связано с номером утверждения, но в математическом смысле выражения равны после раскрытия скобок.

6. Найдём противоположное выражение к \(5a — 8b + 1\). Противоположное выражение получается путём изменения знаков всех слагаемых на противоположные:

\(5a \to -5a\),

\(-8b \to 8b\),

\(1 \to -1\).

Итог: \(-5a + 8b — 1\).

В ответе указано 2, что, вероятно, относится к номеру утверждения.

7. Сложим выражения \((-m + n — q) + (m — n + q)\). Раскроем скобки и сложим подобные члены:

\(-m + n — q + m — n + q\).

Сгруппируем по переменным:

\((-m + m) + (n — n) + (-q + q) = 0 + 0 + 0 = 0\).

Итог равен нулю, что означает, что данные выражения взаимно уничтожают друг друга.

8. Сложим многочлены \((2x^3 — 2x) + (-x^2 + 2x — 1)\). Раскроем скобки и сложим подобные члены:

\(2x^3 — 2x — x^2 + 2x — 1\).

Объединим подобные:

\(-2x + 2x = 0\).

Итог: \(2x^3 — x^2 — 1\).

9. Вычтем многочлены \(p — q\), где

\(p = 12ab — 15ac\),

\(q = 10ab — 15ac + 2bc\).

Вычитание: \((12ab — 15ac) — (10ab — 15ac + 2bc)\).

Раскроем скобки со знаком минус:

\(12ab — 15ac — 10ab + 15ac — 2bc\).

Объединим подобные:

\(12ab — 10ab = 2ab\),

\(-15ac + 15ac = 0\).

Итог: \(2ab — 2bc\).

10. Раскроем скобки в выражении \(5a^2 — 5a(a — 2)\). Сначала раскроем второе слагаемое:

\(-5a(a — 2) = -5a^2 + 10a\).

Теперь сложим с первым слагаемым:

\(5a^2 — 5a^2 + 10a = 10a\).

11. Сложим расстояния \(3(v + a) + 3(v — a)\). Раскроем скобки:

\(3v + 3a + 3v — 3a\).

Сложим подобные члены:

\(3v + 3v = 6v\),

\(3a — 3a = 0\).

Итог: \(6v\).

Утверждение 3 верно, так как сумма равна \(6v\).

12. Раскроем скобки в произведении \((2a + 3)(4a — 6)\). Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

\(2a \cdot 4a = 8a^2\),

\(2a \cdot (-6) = -12a\),

\(3 \cdot 4a = 12a\),

\(3 \cdot (-6) = -18\).

Сложим полученные слагаемые:

\(8a^2 — 12a + 12a — 18\).

Объединим подобные:

\(-12a + 12a = 0\).

Итог: \(8a^2 — 18\).

13. Проверим выражение \((b — a)(a — c) = -a^2 + ab + ac — bc\). Раскроем скобки:

\(b \cdot a = ab\),

\(b \cdot (-c) = -bc\),

\(-a \cdot a = -a^2\),

\(-a \cdot (-c) = +ac\).

Сложим все:

\(-a^2 + ab + ac — bc\).

Выражение верно.

14. Формула квадрата разности \((2x — 5y)^2\) раскрывается по формуле \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\). Здесь \(A = 2x\), \(B = 5y\).

Вычислим:

\(A^2 = (2x)^2 = 4x^2\),

\(-2AB = -2 \cdot 2x \cdot 5y = -20xy\),

\(B^2 = (5y)^2 = 25y^2\).

Итог: \(4x^2 — 20xy + 25y^2\).

Ответ: 4.

15. Раскроем скобки в выражении \(3(m — 2)^2 + 12m\). Сначала раскроем квадрат:

\((m — 2)^2 = m^2 — 2 \cdot 2m + 4 = m^2 — 4m + 4\).

Умножим на 3:

\(3m^2 — 12m + 12\).

Добавим \(12m\):

\(3m^2 — 12m + 12 + 12m = 3m^2 + 12\).

16. Умножим \((a — 5)(5 — a)\). Заметим, что \(5 — a = -(a — 5)\), поэтому:

\((a — 5)(5 — a) = (a — 5)(-(a — 5)) = -(a — 5)^2\).

Ответ: 4.

17. Найдём разность квадратов \((1 + xy)^2 — (1 — xy)^2\). Используем формулу разности квадратов:

\((A)^2 — (B)^2 = (A — B)(A + B)\), где \(A = 1 + xy\), \(B = 1 — xy\).

Вычислим:

\((1 + xy) — (1 — xy) = 1 + xy — 1 + xy = 2xy\),

\((1 + xy) + (1 — xy) = 1 + xy + 1 — xy = 2\).

Произведение:

\(2xy \cdot 2 = 4xy\).

Ответ: 4.

18. Решим уравнение \(2(x — 1) — 7 = 5x — 5\). Раскроем скобки слева:

\(2x — 2 — 7 = 5x — 5\),

\(2x — 9 = 5x — 5\).

Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону, числа — в другую:

\(2x — 5x = -5 + 9\),

\(-3x = 4\).

Разделим обе части на \(-3\):

\(x = -\frac{4}{3} = -1 \frac{1}{3}\).

19. Составим уравнение из условия: \(6 = 12\left(x — \frac{1}{3}\right)\). Это уравнение задаёт зависимость между \(x\) и числом 6, где правая часть — произведение 12 на выражение \(x — \frac{1}{3}\).

20. Решим уравнение \(6x = 12\left(x — \frac{1}{3}\right)\). Раскроем скобки справа:

\(6x = 12x — 4\).

Перенесём все члены с \(x\) в одну сторону:

\(6x — 12x = -4\),

\(-6x = -4\).

Разделим обе части на \(-6\):

\(x = \frac{2}{3}\).