ГДЗ по Алгебра 7 Класс Проверьте себя Глава 6 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Упростите выражение \(a^2 b^3 a b a^3\).

2. Выполните умножение \(a^2 \cdot a^7\).

3. Значение какого из выражений равно \(2^{11}\)?
1) \(2^{12} — 2\)
2) \(2^{12} : 2\)
3) \(2^{22} : 2\)
4) \(2^{22} : 2^2\)

4. Какая из дробей равна выражению \(a^{k-1}\)?
1) \(\frac{a^k}{a}\)
2) \(\frac{a^{k-1}}{a}\)
3) \(\frac{a^{k+1}}{a^k — 1}\)
4) \(\frac{a^k}{a^{k-1}}\)

5. Для каждого выражения из верхней строки укажите равное ему выражение из нижней строки.
А) \(a^{10} \cdot a^2\)
Б) \((a^{10})^2\)
В) \(a^{10} : a^2\)
Г) \((a \cdot a^{10})^2\)

1) \(a^5\)
2) \(a^8\)
3) \(a^{12}\)
4) \(a^{20}\)
5) \(a^{22}\)

6. Известно, что \(5^5 = 3125\). Найдите \(5^6\).

7. Упростите выражение \(a^9 \cdot a^3\) и найдите его значение при \(a = -\frac{1}{3}\).

8. Упростите выражение \((-x)^2 (-x)^3 (-x^3)^2\).
1) \(x^{36}\)
2) \(-x^{36}\)
3) \(x^{11}\)
4) \(-x^{11}\)

9. Возведите в куб выражение \(-2 a^{20} c^{12} x\).

10. Выполните действие: \(\left(\frac{3x}{y^3}\right)^2\).
1) \(\frac{9x^2}{y^6}\)
2) \(\frac{6x^2}{y^6}\)
3) \(\frac{3x^2}{y^3}\)
4) \(\frac{3x^2}{y^6}\)

11. Какое из данных выражений можно представить в виде \((a^3 b)^2\)?
1) \(a^6 b^2\)
2) \(-a^6 b^2\)
3) \(a^5 b^2\)
4) \(-a^5 b^2\)

12. Какое из данных выражений нельзя представить ни в виде квадрата, ни в виде куба?
1) \(a^3 c^6\)
2) \(-a^3 c^6\)
3) \(-a^2 c^2\)
4) \((-a)^2 b^2\)

13. Вычислите \(\frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3}\).

14. Найдите значение выражения \(\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8}\).
1) \(\frac{1}{24}\)
2) \(2 \frac{1}{4}\)
3) \(1 \frac{1}{2}\)
4) 1296

15. При каком значении \(x\) верно равенство \(2^x \cdot 2^5 = 1024\)?
1) при \(x = 2\)
2) при \(x = 3\)
3) при \(x = 5\)
4) при \(x = 10\)

16. Какое из следующих неравенств неверно?
1) \(9^{10} < 3^{21}\)
2) \(9^{10} < 5^{20}\)
3) \(6^{10} < 3^{20}\)
4) \(6^{10} < 2^{20}\)

17. Какому из выражений равна сумма \(5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n\)?
1) \(5^{n+1}\)
2) \(5 \cdot 5^n\)
3) \((5^n)^5\)
4) \(5^{n+5}\)

18. Сколько можно составить двузначных чисел, у которых в разряде десятков записана чётная цифра, а в разряде единиц — нечётная?

19. На вечеринке присутствовало 8 человек, и каждый из них обменялся с каждым фотографией. Сколько всего фотографий для этого понадобилось?

20. В среду в 6 классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если 2 из этих уроков — математика и они должны идти один за другим, а остальные уроки по разным предметам?
1) \(3!\)
2) \(4!\)
3) \(5!\)
4) \(6!\)

№ 1.
\(a^2 b^3 a b a^3 = a^{2+1+3} b^{3+1} = a^6 b^4\).

№ 2.
\(a^2 \cdot a^n = a^{2+n}\).

№ 3.
1) \(2^{12} — 2 \neq 2^{11}\).
2) \(2^{12} : 2 = 2^{12-1} = 2^{11}\).
3) \(2^{22} : 2 = 2^{22-1} = 2^{21} \neq 2^{11}\).
4) \(2^{22} : 2^2 = 2^{22-2} = 2^{20} \neq 2^{11}\).
Ответ: 2).

№ 4.
1) \(\frac{a^k}{a} = a^{k-1}\).
2) \(\frac{a^{k-1}}{a} = a^{k-1-1} = a^{k-2} \neq a^{k-1}\).
3) \(\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}} = a^{k+1-(k-1)} = a^2 \neq a^{k-1}\).
4) \(\frac{a^k}{a^{k-1}} = a^{k-(k-1)} = a \neq a^{k-1}\).
Ответ: 1).

№ 5.
А) \(a^{10} \cdot a^2 = a^{12} \neq a^{12-3}\).
Б) \((a^{10})^2 = a^{20} \neq a^{20-4}\).
В) \(a^{10} : a^2 = a^{10-2} = a^8 \neq a^{8-2}\).
Г) \((a \cdot a^{10})^2 = (a^{11})^2 = a^{22} \neq a^{22-5}\).
Ответ: А — 3; Б — 4; В — 2; Г — 5.

№ 6.
\(5^5 = 3\,125\).
\(5^6 = 5^5 \cdot 5 = 3\,125 \cdot 5 = 15\,625\).
Ответ: 15 625.

№ 7.
При \(a = -\frac{1}{3}\):
\(\frac{a^9 \cdot a^3}{a^{10}} = \frac{a^{12}}{a^{10}} = a^2 = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\).
Ответ: \(\frac{1}{9}\).

№ 8.
\((-x)^2 (-x)^3 (-x^3)^2 = x^2 (-x^3)^6 = -x^{11}\).
Ответ: 4).

№ 9.
\((-2 a^{20} c^{12} x)^3 = -8 a^{60} c^{36} x^3\).
Ответ: \(-8 a^{60} c^{36} x^3\).

№ 10.
\(\left(\frac{3x}{y^3}\right)^2 = \frac{9x^2}{y^6}\).
Ответ: 1).

№ 11.
1) \(a^6 b^2 = (a^3 b)^2\).
2) \(-a^6 b^2 = -(a^3 b)^2\).
3) \(a^5 b^2\).
4) \(-a^5 b^2\).
Ответ: 1).

№ 12.
1) \(a^3 c^6 = (a c^2)^3\).
2) \(-a^3 c^6 = (-a c^2)^3\).
3) \(-a^2 c^2\).
4) \((-a)^2 b^2 = (ab)^2\).
Ответ: 3).

№ 13.
\(\frac{7^5 \cdot (7^4)^2}{(7^5)^3} = \frac{7^5 \cdot 7^8}{7^{15}} = \frac{7^{13}}{7^{15}} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\).
Ответ: \(\frac{1}{49}\).

№ 14.
\(\frac{8^2 \cdot 9^5}{6^8} = \frac{(2^3)^2 \cdot (3^2)^5}{(2 \cdot 3)^8} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^8 \cdot 3^8} = 2^{6-8} \cdot 3^{10-8} = 2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}\).
Ответ: 2).

№ 15.
\(2^x \cdot 2^5 = 1024\).
\(2^{x+5} = 2^{10}\).
\(x + 5 = 10\).
\(x = 5\).
Ответ: 3).

№ 16.
1) \(9^{10} < 3^{21}\):
\((3^2)^{10} < 3^{21}\),
\(3^{20} < 3^{21}\) — верно.
2) \(9^{10} < 5^{20}\):
\((3^2)^{10} < 5^{20}\),
\(3^{20} < 5^{20}\) — верно.
3) \(6^{10} < 3^{20}\):
\((2 \cdot 3)^{10} < 3^{20}\),
\(2^{10} \cdot 3^{10} < 3^{20}\) — верно.
4) \(6^{10} < 2^{10}\):
\((2 \cdot 3)^{10} < 2^{10}\),
\(2^{10} \cdot 3^{10} < 2^{10}\) — неверно.
Ответ: 4).

№ 17.
\(5^n + 5^n + 5^n + 5^n + 5^n = 5 \cdot 5^n = 5^{1+n}\).
Ответ: 1).

№ 18.
В разряде десятков — 4 варианта (любая четная цифра, кроме 0).
В разряде единиц — 5 вариантов (любая нечетная цифра).
Всего двузначных чисел: \(4 \cdot 5 = 20\).
Ответ: 20.

№ 19.
Каждый дал другому 7 фотографий.
Всего фотографий: \(8 \cdot 7 = 56\).
Ответ: 56.

№ 20.
Два урока математики примем за один, тогда расписание можно составить \(4!\) способами.
Ответ: 2).

№ 1.
Рассмотрим выражение \(a^2 b^3 a b a^3\). Чтобы упростить его, нужно вспомнить правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: при умножении степеней с одинаковой буквой основания показатели степеней складываются. В данном случае для буквы \(a\) у нас степени 2, 1 и 3, а для буквы \(b\) — степени 3 и 1. Значит, для \(a\) мы складываем показатели: \(2 + 1 + 3 = 6\), а для \(b\) — \(3 + 1 = 4\). Таким образом, исходное выражение можно переписать как \(a^{6} b^{4}\). Это и есть окончательный результат.

№ 2.
Выражение \(a^2 \cdot a^n\) содержит произведение степеней с одинаковым основанием \(a\). Согласно свойству степеней, при умножении нужно сложить показатели степени. Показатели здесь — 2 и \(n\), которые складываются в \(2 + n\). Следовательно, произведение будет равно \(a^{2+n}\). Это простое и важное правило, которое часто используется для упрощения выражений со степенями.

№ 3.
Рассмотрим варианты и проверим каждое равенство:
1) \(2^{12} — 2 \neq 2^{11}\), так как вычитание не соответствует свойствам степеней.
2) \(2^{12} : 2 = 2^{12 — 1} = 2^{11}\) — это верное равенство, так как при делении степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются.
3) \(2^{22} : 2 = 2^{22 — 1} = 2^{21} \neq 2^{11}\), здесь показатели не совпадают.
4) \(2^{22} : 2^{2} = 2^{22 — 2} = 2^{20} \neq 2^{11}\), также не совпадает.
Ответ: правильный вариант — 2).

№ 4.
Рассмотрим каждое выражение:
1) \(\frac{a^k}{a} = a^{k-1}\), так как при делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.
2) \(\frac{a^{k-1}}{a} = a^{k-1-1} = a^{k-2} \neq a^{k-1}\), здесь результат отличается от правой части.
3) \(\frac{a^{k+1}}{a^{k-1}} = a^{k+1-(k-1)} = a^{2} \neq a^{k-1}\), показатель степени не совпадает.
4) \(\frac{a^{k}}{a^{k-1}} = a^{k-(k-1)} = a \neq a^{k-1}\), тоже не совпадает.
Ответ: правильный вариант — 1).

№ 5.
А) \(a^{10} \cdot a^{2} = a^{12}\), что не равно \(a^{12-3} = a^{9}\), следовательно, неверно.
Б) \((a^{10})^{2} = a^{20}\), а \(a^{20-4} = a^{16}\), значит, не совпадает.
В) \(a^{10} : a^{2} = a^{10-2} = a^{8}\), а \(a^{8-2} = a^{6}\), не совпадает.
Г) \((a \cdot a^{10})^{2} = (a^{11})^{2} = a^{22}\), а \(a^{22-5} = a^{17}\), не совпадает.
Ответ: А — 3; Б — 4; В — 2; Г — 5.

№ 6.
Вычислим степени числа 5:
\(5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3\,125\).
Для вычисления \(5^6\) умножим \(5^5\) на 5:
\(5^6 = 5^5 \cdot 5 = 3\,125 \cdot 5 = 15\,625\).
Ответ: 15 625.

№ 7.
Подставим \(a = -\frac{1}{3}\) в выражение:
\(\frac{a^9 \cdot a^3}{a^{10}} = \frac{a^{12}}{a^{10}} = a^{12-10} = a^{2}\).
Подставим значение \(a\):
\(\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\).
Ответ: \(\frac{1}{9}\).

№ 8.
Рассмотрим выражение:
\((-x)^2 (-x)^3 (-x^3)^2\).
Раскроем степени:
\((-x)^2 = x^{2}\) (так как \((-1)^2 = 1\)),
\((-x)^3 = -x^{3}\) (так как \((-1)^3 = -1\)),
\((-x^3)^2 = x^{6}\) (так как \((-1)^2 = 1\)).
Перемножим:
\(x^{2} \cdot (-x^{3}) \cdot x^{6} = -x^{2 + 3 + 6} = -x^{11}\).
Ответ: 4).

№ 9.
Вычислим куб выражения:
\((-2 a^{20} c^{12} x)^3 = (-2)^3 \cdot (a^{20})^3 \cdot (c^{12})^3 \cdot x^{3} = -8 a^{60} c^{36} x^{3}\).
Ответ: \(-8 a^{60} c^{36} x^{3}\).

№ 10.
Возьмём квадрат дроби:
\(\left(\frac{3x}{y^3}\right)^2 = \frac{(3x)^2}{(y^3)^2} = \frac{9 x^{2}}{y^{6}}\).
Ответ: 1).

№ 11.
Рассмотрим варианты:
1) \(a^{6} b^{2} = (a^{3} b)^{2}\), так как \((a^{3})^{2} = a^{6}\) и \(b^{2} = b^{2}\).
2) \(-a^{6} b^{2} = -(a^{3} b)^{2}\), знак минус добавлен, но равенство сохраняется.
3) \(a^{5} b^{2}\) — не является квадратом выражения \(a^{3} b\).
4) \(-a^{5} b^{2}\) — аналогично предыдущему, знак минус не меняет сути.
Ответ: 1).

№ 12.
Рассмотрим варианты:
1) \(a^{3} c^{6} = (a c^{2})^{3}\), так как \((a)^{3} = a^{3}\) и \((c^{2})^{3} = c^{6}\).
2) \(-a^{3} c^{6} = (-a c^{2})^{3}\), знак минус внутри скобок при нечетной степени сохраняется.
3) \(-a^{2} c^{2}\) — не является степенью куба.
4) \((-a)^{2} b^{2} = (a b)^{2}\), так как \((-a)^{2} = a^{2}\).
Ответ: 3).

№ 13.
Упростим выражение:
\(\frac{7^{5} \cdot (7^{4})^{2}}{(7^{5})^{3}} = \frac{7^{5} \cdot 7^{8}}{7^{15}} = \frac{7^{13}}{7^{15}} = 7^{13 — 15} = 7^{-2} = \frac{1}{7^{2}} = \frac{1}{49}\).
Ответ: \(\frac{1}{49}\).

№ 14.
Разложим числа на простые множители:
\(8^{2} = (2^{3})^{2} = 2^{6}\),
\(9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}\),
\(6^{8} = (2 \cdot 3)^{8} = 2^{8} \cdot 3^{8}\).
Подставим:
\(\frac{2^{6} \cdot 3^{10}}{2^{8} \cdot 3^{8}} = 2^{6 — 8} \cdot 3^{10 — 8} = 2^{-2} \cdot 3^{2} = \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}\).
Ответ: 2).

№ 15.
Дано уравнение:
\(2^{x} \cdot 2^{5} = 1024\).
Объединим степени:
\(2^{x + 5} = 1024\).
Известно, что \(1024 = 2^{10}\), значит:
\(2^{x + 5} = 2^{10}\).
Приравняем показатели степени:
\(x + 5 = 10\),
отсюда \(x = 5\).
Ответ: 3).

№ 16.
Проверим каждое неравенство:
1) \(9^{10} < 3^{21}\):
\(9 = 3^{2}\), значит \(9^{10} = (3^{2})^{10} = 3^{20}\), и \(3^{20} < 3^{21}\) — верно.
2) \(9^{10} < 5^{20}\):
\(9^{10} = 3^{20}\), сравним с \(5^{20}\). Поскольку \(3 < 5\), \(3^{20} < 5^{20}\) — верно.
3) \(6^{10} < 3^{20}\):
\(6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10}\). Сравним с \(3^{20} = 3^{10} \cdot 3^{10}\). Поскольку \(2^{10} > 1\), \(6^{10} > 3^{20}\) — неверно, но в условии указано, что верно, здесь важно внимательно проверить.
4) \(6^{10} < 2^{10}\):
\(6^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10}\), и \(3^{10} > 1\), значит \(6^{10} > 2^{10}\), неравенство неверно.
Ответ: 4).

№ 17.
Сложим пять одинаковых слагаемых \(5^{n}\):
\(5^{n} + 5^{n} + 5^{n} + 5^{n} + 5^{n} = 5 \cdot 5^{n}\).
Используем правило степеней: \(5 = 5^{1}\), значит:
\(5 \cdot 5^{n} = 5^{1} \cdot 5^{n} = 5^{1 + n}\).
Ответ: 1).

№ 18.
Для двузначного числа:
В разряде десятков — цифры четные, кроме 0, то есть варианты: 2, 4, 6, 8 — всего 4 варианта.
В разряде единиц — цифры нечетные: 1, 3, 5, 7, 9 — всего 5 вариантов.
Общее количество чисел равно произведению вариантов в каждом разряде:
\(4 \cdot 5 = 20\).
Ответ: 20.

№ 19.
Каждый из 8 человек дал другому по 7 фотографий. Значит всего было передано:
\(8 \cdot 7 = 56\) фотографий.
Ответ: 56.

№ 20.
Если два урока математики считаем за один предмет, то у нас 4 предмета для расстановки. Количество способов перестановки 4 предметов равно \(4! = 24\).
Ответ: 2).