ГДЗ по Алгебра 7 Класс Проверьте себя Глава 4 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Корнями какого уравнения являются числа \(2\) и \(-1\)?
1) \(x^{2}-3x+2=0\)
2) \(x^{2}+3x+2=0\)
3) \(x^{2}-x-2=0\)
4) \(x^{2}+x-2=0\)

2. Соотнесите каждое уравнение с числом его корней:
1) один корень
2) два корня
3) нет корней
A) \(x^{2}=4\)
Б) \(2x-(x-3)=0\)
В) \(|x|+4=0\)

3. Решите уравнение \(15-x=2(x-30)\).

4. Решите уравнение \(5(2x-1)-4(3x+1)=2\).

5. Каким числом является корень уравнения \(\frac{x}{5}-\frac{1}{2}=\frac{x}{4}\)?
1) целым положительным
2) целым отрицательным
3) дробным положительным
4) дробным отрицательным

6. Прочитайте задачу: «В три коробки надо разложить 65 мячей так, чтобы в первой было мячей в 3 раза больше, чем во второй, а в третьей — на 5 мячей меньше, чем в первой. Сколько мячей должно быть в каждой коробке?»
Число мячей во второй коробке обозначено буквой \(x\). Какое уравнение соответствует условию задачи?
1) \(3x+x+(3x+5)=65\)
2) \(3x+x+(x-5)=65\)
3) \((x+3)+x+(x-5)=65\)
4) \(3x+x+(3x-5)=65\)

7. Во втором баке было в 2 раза больше воды, чем в первом. Когда в первый бак долили 20 л воды, а из второго отлили 15 л воды, то воды в баках стало поровну. Сколько воды было в каждом баке первоначально?

8. За игрушку в подарочной упаковке заплатили 324 р. Стоимость упаковки составила 8% от стоимости игрушки. Сколько стоит игрушка?

9. В какое уравнение нельзя преобразовать уравнение \(16x=12(x-3)\)?
1) \(8x=6(x-3)\)
2) \(16x=12x-36\)
3) \(4x=3x-3\)
4) \(3(x-3)=4x\)

10. Дано уравнение \(ax=3\), где \(a\) — некоторое число, \(x\) — переменная. Найдите \(a\), если известно, что корень уравнения равен \(\frac{2}{3}\).

11. Решите уравнение \(2a-b+4x=c\) относительно \(x\).
1) \(x=\frac{2a-b+c}{4}\)
2) \(x=\frac{c-2a+b}{4}\)
3) \(x=4(c-2a+b)\)
4) \(x=\frac{c-2a-b}{4}\)

12. При каком значении \(x\) значения выражений \(8x-15\) и \(2x-10\) противоположны?
1) при \(x=-2{,}5\)
2) при \(x=2{,}5\)
3) при \(x=\frac{5}{6}\)
4) при \(x=\frac{25}{9}\)

1) Проверяем подстановкой \(x=2\) и \(x=-1\).
Для \(x^{2}-x-2=0\): при \(x=2\) получаем \(4-2-2=0\), при \(x=-1\) получаем \(1+1-2=0\).
Ответ: 3) \(x^{2}-x-2=0\).

2) A) \(x^{2}=4\): \(x=2\) и \(x=-2\), значит два корня.
Б) \(2x-(x-3)=0\): \(x+3=0\), значит один корень \(x=-3\).
В) \(|x|+4=0\): \(|x|\ge 0\), значит \(|x|=-4\) невозможно, корней нет.
Ответ: A2, Б1, В3.

3) \(15-x=2(x-30)\) \(\Rightarrow\) \(15-x=2x-60\) \(\Rightarrow\) \(-3x=-75\) \(\Rightarrow\) \(x=25\).
Ответ: \(x=25\).

4) \(5(2x-1)-4(3x+1)=2\) \(\Rightarrow\) \(10x-5-12x-4=2\) \(\Rightarrow\) \(-2x=11\) \(\Rightarrow\) \(x=-5{,}5\).
Ответ: \(x=-5{,}5\).

5) \(\frac{x}{5}-\frac{1}{2}=\frac{x}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{x}{5}-\frac{x}{4}=\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(20\left(\frac{x}{5}-\frac{x}{4}\right)=20\cdot\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(4x-5x=10\) \(\Rightarrow\) \(x=-10\). Это целое отрицательное.
Ответ: 2) целым отрицательным.

6) Во 2-й коробке \(x\), в 1-й \(3x\), в 3-й \(3x-5\). Сумма \(65\): \(3x+x+(3x-5)=65\).
Ответ: 4) \(3x+x+(3x-5)=65\).

7) Пусть в 1 баке \(x\) л, тогда во 2 баке \(2x\) л. После изменений: \(x+20=2x-15\) \(\Rightarrow\) \(-x=-35\) \(\Rightarrow\) \(x=35\). Тогда во 2 баке \(2\cdot 35=70\).
Ответ: \(35\) л и \(70\) л.

8) Пусть игрушка стоит \(x\) р, упаковка \(0{,}08x\) р. Тогда \(x+0{,}08x=324\) \(\Rightarrow\) \(1{,}08x=324\) \(\Rightarrow\) \(x=\frac{324}{1{,}08}=300\).
Ответ: \(300\) р.

9) Из \(16x=12(x-3)\) можно получить \(16x=12x-36\), а также разделить на \(2\): \(8x=6(x-3)\), и далее \(4x=3x-9\). Уравнение \(3(x-3)=4x\) эквивалентно \(3x-9=4x\), то есть \(x=-9\), не совпадает.
Ответ: 4) \(3(x-3)=4x\).

10) \(ax=3\), \(x=\frac{2}{3}\). Тогда \(a\cdot\frac{2}{3}=3\) \(\Rightarrow\) \(a=3:\frac{2}{3}=3\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5\).
Ответ: \(a=4{,}5\).

11) \(2a-b+4x=c\) \(\Rightarrow\) \(4x=c-2a+b\) \(\Rightarrow\) \(x=\frac{c-2a+b}{4}\).
Ответ: 2) \(x=\frac{c-2a+b}{4}\).

12) Противоположны, значит \(8x-15=-(2x-10)\). Тогда \(8x-15=-2x+10\) \(\Rightarrow\) \(10x=25\) \(\Rightarrow\) \(x=2{,}5\).
Ответ: 2) при \(x=2{,}5\).

1) Нужно найти, при каком из четырёх уравнений числа \(2\) и \(-1\) одновременно являются корнями, то есть при подстановке каждого из этих чисел левая часть должна давать \(0\). Проверяем по очереди. Для варианта 3) \(x^{2}-x-2=0\): при \(x=2\) получаем \(2^{2}-2-2=4-2-2=0\), значит \(2\) подходит; при \(x=-1\) получаем \((-1)^{2}-(-1)-2=1+1-2=0\), значит \(-1\) тоже подходит. Для других вариантов хотя бы одно из чисел даёт не ноль, поэтому они не подходят. Ответ: 3) \(x^{2}-x-2=0\).

2) Здесь надо сопоставить каждое уравнение с количеством его корней (1 — один, 2 — два, 3 — нет корней).
A) \(x^{2}=4\): это уравнение означает, что квадрат числа равен \(4\), значит \(x\) может быть \(2\) и \(-2\) (так как \(2^{2}=4\) и \((-2)^{2}=4\)), то есть корней два, соответствует пункту 2).
Б) \(2x-(x-3)=0\): сначала раскрываем скобки \(2x-x+3=0\), получаем \(x+3=0\), отсюда единственный корень \(x=-3\), значит соответствует пункту 1).
В) \(|x|+4=0\): модуль \(|x|\) неотрицателен, то есть \(|x|\ge 0\), поэтому \(|x|+4\ge 4\) и равенства нулю быть не может; корней нет, соответствует пункту 3). Ответ: A2, Б1, В3.

3) Решаем линейное уравнение \(15-x=2(x-30)\). Сначала раскрываем скобки справа: \(2(x-30)=2x-60\), получаем \(15-x=2x-60\). Теперь переносим члены с \(x\) в одну сторону, числа — в другую: прибавим \(x\) к обеим частям \(15=3x-60\), затем прибавим \(60\): \(75=3x\). Делим обе части на \(3\): \(x=25\). Ответ: \(x=25\).

4) Решаем \(5(2x-1)-4(3x+1)=2\). Раскрываем скобки: \(5(2x-1)=10x-5\), а \(-4(3x+1)=-12x-4\), поэтому левая часть становится \(10x-5-12x-4\). Сначала приводим подобные: \(10x-12x=-2x\), а \(-5-4=-9\), получаем \(-2x-9=2\). Переносим \(-9\) вправо: \(-2x=11\). Делим на \(-2\): \(x=\frac{11}{-2}=-5{,}5\). Ответ: \(x=-5{,}5\).

5) Определяем, каким числом является корень уравнения \(\frac{x}{5}-\frac{1}{2}=\frac{x}{4}\). Сначала переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону, а число \(\frac{1}{2}\) — в другую: \(\frac{x}{5}-\frac{x}{4}=\frac{1}{2}\). Находим разность дробей с \(x\): общий знаменатель для \(\frac{1}{5}\) и \(\frac{1}{4}\) равен \(20\), поэтому \(\frac{x}{5}=\frac{4x}{20}\), \(\frac{x}{4}=\frac{5x}{20}\), разность \(\frac{4x}{20}-\frac{5x}{20}=\frac{-x}{20}\). Тогда \(\frac{-x}{20}=\frac{1}{2}\). Умножаем обе части на \(20\): \(-x=10\), значит \(x=-10\). Число \(-10\) — целое отрицательное. Ответ: 2) целым отрицательным.

6) Во второй коробке \(x\) мячей (так задано). Тогда в первой «в 3 раза больше», значит \(3x\). В третьей «на 5 меньше, чем в первой», значит \(3x-5\). Всего мячей \(65\), значит складываем содержимое трёх коробок: \(3x+x+(3x-5)=65\). Именно это уравнение и требуется выбрать из вариантов. Ответ: 4) \(3x+x+(3x-5)=65\).

7) Пусть в первом баке было \(x\) л, тогда во втором «в 2 раза больше», то есть \(2x\) л. После изменений в первом стало \(x+20\) л (долили \(20\)), а во втором стало \(2x-15\) л (отлили \(15\)). По условию после этого воды стало поровну, значит составляем равенство \(x+20=2x-15\). Решаем: переносим \(x\) в правую часть или \(2x\) в левую: \(20=x-15\), затем прибавляем \(15\): \(35=x\). Значит в первом было \(35\) л, во втором было \(2\cdot 35=70\) л. Ответ: \(35\) л и \(70\) л.

8) Пусть стоимость игрушки \(x\) р. Тогда упаковка стоит \(8\%\) от стоимости игрушки, то есть \(0{,}08x\) р. Общая сумма покупки \(324\) р, значит составляем уравнение \(x+0{,}08x=324\). Складываем подобные: \(1{,}08x=324\). Делим обе части на \(1{,}08\): \(x=\frac{324}{1{,}08}=300\). Следовательно, игрушка стоит \(300\) р, упаковка \(0{,}08\cdot 300=24\) р, сумма \(300+24=324\) р совпадает с условием. Ответ: \(300\) р.

9) Нужно определить, в какое уравнение нельзя преобразовать уравнение \(16x=12(x-3)\), то есть какое не является равносильным (не получается из исходного допустимыми преобразованиями). Раскрываем скобки в исходном: \(16x=12x-36\) — это вариант 2), он точно получается. Если разделить обе части исходного на \(2\), получим \(8x=6(x-3)\) — это вариант 1), тоже возможно. Из \(16x=12x-36\) переносим \(12x\) влево: \(4x=-36\), делим на \(4\): \(x=-9\). Теперь проверим варианты: вариант 3) \(4x=3x-3\) даёт \(x=-3\), это уже другой корень, значит это не равносильное преобразование исходного. В варианте 4) \(3(x-3)=4x\) раскрываем скобки \(3x-9=4x\), получаем \(x=-9\), он совпадает с корнем исходного, и такое уравнение эквивалентно \(4x=3x-9\), а не \(4x=3x-3\). Следовательно, «нельзя преобразовать» — это вариант 3). Ответ: 3) \(4x=3x-3\).

10) Дано \(ax=3\) и известно, что корень \(x=\frac{2}{3}\). Подставляем значение корня в уравнение: \(a\cdot \frac{2}{3}=3\). Чтобы найти \(a\), делим обе части на \(\frac{2}{3}\): \(a=3:\frac{2}{3}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}\). Число \(\frac{9}{2}=4{,}5\). Ответ: \(a=4{,}5\).

11) Решаем уравнение \(2a-b+4x=c\) относительно \(x\), то есть выражаем \(x\) через \(a\), \(b\), \(c\). Переносим \(2a-b\) в правую часть (или, что то же самое, вычитаем \(2a-b\) из обеих частей): \(4x=c-(2a-b)=c-2a+b\). Теперь делим обе части на \(4\): \(x=\frac{c-2a+b}{4}\). Это соответствует варианту 2). Ответ: 2) \(x=\frac{c-2a+b}{4}\).

12) Значения выражений \(8x-15\) и \(2x-10\) противоположны, если одно равно минусу другого: \(8x-15=-(2x-10)\). Раскрываем знак минус справа: \(-(2x-10)=-2x+10\), получаем уравнение \(8x-15=-2x+10\). Переносим \(-2x\) влево: \(8x+2x=10+15\), то есть \(10x=25\). Делим на \(10\): \(x=\frac{25}{10}=2{,}5\). Это вариант 2). Ответ: 2) при \(x=2{,}5\).