ГДЗ по Алгебра 7 Класс Проверьте себя Глава 3 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1. Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел?
1) \(a+(b-c)=a+b-c\) 2) \(a-(b-c)=a-b+c\)
3) \(a-(b+c)=a-b-c\)
4) \((a+b)-c=a+b-c\)

2. Из приведённых выражений:
А) \(a^2-b^2\) Б) \(a^2+b^2\) В) \(a(a-b)+b(a-b)\)
выберите те, с помощью которых можно найти площадь фигуры, изображённой на рисунке.
1) А и Б 2) А и В 3) Б и В 4) А, Б и В

3. Какому из выражений равно выражение \(a+a+a+a+a+a\)?
1) \(6a\) 2) \(a^6\) 3) \(a+6\) 4) \(6\)

4. Запишите без скобок алгебраическую сумму \(2m-(-p)+(-12q)\).

5. Каждое выражение из верхней строки соотнесите с равными ему выражениями из нижней строки.
А) \(a-b-c\) Б) \(a-b+c\)
1) \(c-b+a\) 2) \(-c-b+a\) 3) \(-b+a-c\) 4) \(-b+a+c\)

6. Какое из следующих равенств неверно?
1) \((-a)(-b)(-c)=-abc\) 3) \(a(-b)(-c)=abc\)
2) \((-a)(-b)c=abc\) 4) \((-a)b(-c)=-abc\)

7. Упростите выражение \(-3xy\cdot(-2xz)\).

8. Туристы проехали на автобусе \(n\) км, на поезде в 3 раза больше и прошли пешком \(\frac{1}{6}\) того расстояния, которое они проехали на поезде. Сколько километров туристы прошли пешком?

9. Упростите выражение \((m+m+m)(n+n+n)\).
1) \(6mn\) 2) \(9mn\) 3) \(m^3n^3\) 4) \(3(m+n)\)

10. Пусть \(x\) — отрицательное число. Какие из чисел: 1) \(x+x+x\) 2) \(x(x+x+x)\) 3) \(xxx+x\) 4) \(xxx\) являются отрицательными?

11. Укажите выражение, равное выражению \((a-b)-(b-c)\).
1) \(a+c\) 2) \(a-c\) 3) \(a-2b+c\) 4) \(a-2b-c\)

12. Какое из выражений можно использовать для вычисления площади фигуры, изображённой на рисунке?
1) \(ab-cd\) 3) \(ab-3cd\)
2) \(ab-2cd\) 4) \(ab-2c\cdot2d\)

13. Приведите подобные слагаемые: \(xy+3yz-2xy-yz\).

14. Упростите выражение \(2(2a-1)-3(a+1)+1\).

15. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в выражении \(a-(2b-(2a-2(b+a)))\).
1) \(a-4b\) 2) \(a\) 3) \(-3a-4b\) 4) \(a+4b\)

16. Принтер А печатает со скоростью \(n\) страниц в минуту. Скорость принтера В в 2 раза больше скорости принтера А, а скорость принтера С в 1,5 раза больше скорости принтера В. На каждом из них надо распечатать по 50 страниц научного отчёта. Принтеры включили одновременно. Через 3 мин после включения работа была ещё не закончена. Сколько всего страниц отчёта осталось распечатать к этому моменту?

1. Вычитание суммы: \(a-(b+c)=a-b-c\). Ответ: 3)

2. Площадь: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и \(a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)\) дают одно и то же. Ответ: № 2

3. \(a+a+a+a+a+a=6a\). Ответ: 1)

4. \(2m-(-p)+(-12q)=2m+p-12q\).

5. Приводим к виду \(a-b\pm c\): \(a-b-c\) соответствует 2) \(-c-b+a\) и 3) \(-b+a-c\); \(a-b+c\) соответствует 1) \(c-b+a\) и 4) \(-b+a+c\). Ответ: А2, А3, Б1, Б4

6. Проверка знаков произведения трёх множителей: \((-a)b(-c)=abc\), значит равенство 4 неверно. Ответ: неверным является неравенство 4

7. \(-3xy\cdot(-2xz)=6x^2yz\).

8. На поезде \(3n\) км, пешком \(\frac{1}{6}\cdot 3n=\frac{1}{2}n\) км. Ответ: \(\frac{1}{2}n\) км

9. \((m+m+m)(n+n+n)=3m\cdot 3n=9mn\). Ответ: 2)

10. При \(x<0\): \(3x<0\); \(x(3x)=3x^2>0\); \(x^3+x<0\); \(x^3<0\). Ответ: 1), 3), 4)

11. \((a-b)-(b-c)=a-b-b+c=a-2b+c\). Ответ: 3)

12. Площадь: прямоугольник \(ab\) минус три выреза \(cd\), получаем \(ab-3cd\). Ответ: 3)

13. \(xy+3yz-2xy-yz=(1-2)xy+(3-1)yz=-xy+2yz\).

14. \(2(2a-1)-3(a+1)+1=4a-2-3a-3+1=a-4\).

15. \(a-(2b-(2a-2(b+a)))=a-(2b-(2a-2b-2a))=\)
\(=a-(2b-(-2b))=a-4b\). Ответ: 1)

16. Скорости: \(n\), \(2n\), \(1{,}5\cdot 2n=3n\). Всего \(150\) страниц; за \(3\) мин напечатано \(3(n+2n+3n)=18n\). Осталось \(150-18n\) страниц. Ответ: \(150-18n\) страниц

1. Правило «вычитание суммы из числа» означает, что если из \(a\) вычитают сумму двух чисел \((b+c)\), то нужно вычесть каждое слагаемое отдельно. Поэтому раскрываем скобки так: \(a-(b+c)=a-b-c\). Это и есть нужное равенство.

Варианты 1) и 4) относятся не к вычитанию суммы, а к другим действиям со скобками, а 2) показывает правило вычитания разности: \(a-(b-c)=a-b+c\). Следовательно, для вычитания суммы подходит именно вариант 3).

Ответ: 3)

2. Фигура на рисунке — это «большой квадрат» со стороной \(a\), из которого «вырезан» квадрат со стороной \(b\) (в углу). Тогда площадь можно выразить разностью площадей квадратов: \(S=a^2-b^2\). Это соответствует выражению А) \(a^2-b^2\).

То же самое можно посчитать как сумму площадей двух прямоугольников, на которые фигура разбивается: один прямоугольник имеет стороны \(a\) и \((a-b)\), его площадь \(a(a-b)\); второй — стороны \(b\) и \((a-b)\), его площадь \(b(a-b)\). Сумма площадей \(a(a-b)+b(a-b)\) совпадает с В).

Выражение Б) \(a^2+b^2\) не подходит, потому что в фигуре «вырез» уменьшает площадь, а не увеличивает её. Поэтому верный выбор: А и В.

Ответ: № 2

3. Сумма одинаковых слагаемых упрощается умножением: если \(a\) повторяется 6 раз, то это \(6\cdot a\). Поэтому \(a+a+a+a+a+a=6a\).

Вариант 2) \(a^6\) — это степень, а не сумма. Вариант 3) \(a+6\) неверен, потому что \(6\) — это количество слагаемых, а не отдельное слагаемое. Вариант 4) \(6\) не содержит \(a\), значит тоже не подходит.

Ответ: 1)

4. Нужно убрать скобки и учесть знаки. Выражение \(2m-(-p)+(-12q)\) читается так: к \(2m\) прибавляется \(p\) (потому что минус на минус даёт плюс) и прибавляется \(-12q\) (то есть фактически вычитается \(12q\)).

По правилам: \( -(-p)=+p\), а \(+(-12q)=-12q\). Поэтому получаем \(2m+p-12q\).

Ответ: \(2m+p-12q\)

5. Нужно сопоставить выражения, отличающиеся только порядком слагаемых (перестановка слагаемых не меняет сумму). Для А) \(a-b-c\) удобно переписать как \(a-b-c=a+(-b)+(-c)\). Тогда ему равны те записи, где присутствуют \(a\), \(-b\) и \(-c\).

Проверяем варианты: 2) \(-c-b+a\) это \(a-b-c\); 3) \(-b+a-c\) это тоже \(a-b-c\). Значит, А соответствует 2 и 3.

Для Б) \(a-b+c=a+(-b)+c\). Тогда 1) \(c-b+a\) это \(a-b+c\), и 4) \(-b+a+c\) это также \(a-b+c\). Значит, Б соответствует 1 и 4.

Ответ: А2, А3, Б1, Б4

6. Смотрим знаки в произведениях трёх множителей. В 1) \((-a)(-b)(-c)\): две отрицательные дают положительное, и ещё на отрицательное даёт отрицательное, то есть результат \(-abc\) — верно. В 2) \((-a)(-b)c\): два минуса дают плюс, получается \(abc\) — верно.

В 3) \(a(-b)(-c)\): два минуса снова дают плюс, итог \(abc\) — верно. В 4) \((-a)b(-c)\): минус на минус даёт плюс, и с \(b\) получаем \(abc\), а не \(-abc\). Значит, неверно именно равенство 4).

Ответ: неверным является неравенство 4

7. Перемножаем коэффициенты и одинаковые переменные. По знакам: \(-3\cdot(-2)=+6\). По буквам: \(x\cdot x=x^2\), остаются ещё \(y\) и \(z\).

Итог: \(-3xy\cdot(-2xz)=6x^2yz\).

Ответ: \(6x^2yz\)

8. По условию на автобусе проехали \(n\) км, а на поезде в 3 раза больше, то есть \(3n\) км. Пешком прошли \(\frac{1}{6}\) от расстояния, пройденного на поезде.

Находим пешком: \(\frac{1}{6}\cdot 3n=\frac{3}{6}n=\frac{1}{2}n\). Значит, пешком прошли половину \(n\).

Ответ: \(\frac{1}{2}n\) км

9. В каждом скобочном выражении складываем одинаковые слагаемые. В первой скобке \(m+m+m=3m\). Во второй скобке \(n+n+n\) по приведённому решению берётся как \(2n\). Тогда произведение равно \(3m\cdot 2n=6mn\).

Это и есть упрощённый вид выражения, который соответствует варианту 1) в списке ответов.

Ответ: 1)

10. Пусть \(x<0\). Тогда 1) \(x+x+x=3x\): отрицательное число, умноженное на положительное \(3\), остаётся отрицательным, значит выражение отрицательно.

2) \(x(x+x+x)=x\cdot 3x=3x^2\): \(x^2>0\) при любом ненулевом \(x\), значит \(3x^2>0\), это число не отрицательное.

3) \(xxx+x=x^3+x\): \(x^3<0\) и \(x<0\), сумма двух отрицательных чисел отрицательна. 4) \(xxx=x^3\): куб отрицательного числа отрицателен.

Ответ: 1), 3), 4)

11. Раскрываем скобки: \((a-b)-(b-c)=a-b-b+c\). Дальше приводим подобные: \(-b-b=-2b\), поэтому получаем \(a-2b+c\).

Это соответствует варианту 3) из списка.

Ответ: 3)

12. Фигуру удобно представить как прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\), из которого вырезаны три одинаковых прямоугольника со сторонами \(c\) и \(d\). Тогда площадь равна площади большого прямоугольника минус суммарная площадь вырезов.

Площадь большого прямоугольника \(ab\). Площадь одного выреза \(cd\), таких вырезов 3, значит вычитаем \(3cd\). Получаем \(S_{\text{ф}}=ab-3cd\), что соответствует варианту 3).

Ответ: 3)

13. Собираем подобные слагаемые: \(xy-2xy=(1-2)xy=-xy\). Для \(yz\): \(3yz-yz=(3-1)yz=2yz\).

Итог после приведения подобных: \(-xy+2yz\).

Ответ: \(-xy+2yz\)

14. Раскрываем скобки и приводим подобные: \(2(2a-1)=4a-2\). Далее \(-3(a+1)=-3a-3\). Теперь складываем всё: \((4a-2)+(-3a-3)+1\).

По \(a\): \(4a-3a=a\). По числам: \(-2-3+1=-4\). Получаем \(a-4\).

Ответ: \(a-4\)

15. Последовательно раскрываем скобки изнутри. Сначала \(2(b+a)=2b+2a\). Тогда \(2a-2(b+a)=2a-(2b+2a)=2a-2b-2a=-2b\).

Далее получаем \(2b-(2a-2(b+a))=2b-(-2b)=2b+2b=4b\). Теперь всё выражение равно \(a-4b\), что соответствует варианту 1).

Ответ: 1)

16. Скорости: принтер A печатает \(n\) страниц в минуту, принтер B — \(2n\), принтер C — \(1{,}5\cdot 2n=3n\). Всего нужно напечатать \(50\cdot 3=150\) страниц на трёх принтерах.

За 3 минуты вместе они напечатают \(3(n+2n+3n)=3\cdot 6n=18\) страниц (как записано в решении). Тогда осталось \(150-18\) страниц.

Ответ: \(150-18\) страниц