ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 937 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения

а) \(x^3 — 4x^2 + 4x = 0\);

б) \(2x^3 + 24x + 72x = 0\);

в) \(x^3 + x^2 — 3x + 2 = 0\);

г) \(x^3 — 4x^2 — 4x + 16 = 0\).

а) \(x^3 — 4x^2 + 4x = 0\)
Вынесем \(x\): \(x(x^2 — 4x + 4) = 0\).
Квадрат раскладывается: \(x(x — 2)^2 = 0\).
Корни: \(x = 0; \quad x = 2\).
Ответ: \(x = 0; \quad x = 2\).

б) \(2x^3 + 24x^2 + 72x = 0\)
Вынесем \(2x\): \(2x(x^2 + 12x + 36) = 0\).
Квадрат раскладывается: \(2x(x + 6)^2 = 0\).
Корни: \(x = 0; \quad x = -6\).
Ответ: \(x = -6; \quad x = 0\).

в) \(1 — 3x + x^2 — 3x^3 = 0\)
Перегруппируем: \((1 — 3x) + x^2(1 — 3x) = 0\).
Вынесем общий множитель: \((1 — 3x)(1 + x^2) = 0\).
Корни: \(1 — 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\); \(1 + x^2 = 0 \Rightarrow\) корней нет.
Ответ: \(x = \frac{1}{3}\).

г) \(x^3 — 4x^2 — 4x + 16 = 0\)
Группируем: \(x^2(x — 4) — 4(x — 4) = 0\).
Вынесем общий множитель: \((x — 4)(x^2 — 4) = 0\).
Разложим квадрат: \((x — 4)(x — 2)(x + 2) = 0\).
Корни: \(x = 4; \quad x = 2; \quad x = -2\).
Ответ: \(x = \pm 2; \quad x = 4\).

а) Уравнение \(x^3 — 4x^2 + 4x = 0\) содержит общий множитель \(x\), который можно вынести за скобки, получив \(x(x^2 — 4x + 4) = 0\). Это позволяет разделить уравнение на два простых множителя, каждый из которых можно приравнять к нулю. Первый множитель даёт корень \(x = 0\).

Вторая часть уравнения — квадратный трёхчлен \(x^2 — 4x + 4\) — является полным квадратом, так как \(4 = 2^2\) и коэффициенты совпадают с формулой \((x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4\). Значит, это выражение можно переписать как \((x — 2)^2\), и приравнять к нулю. Отсюда корень \(x = 2\) с кратностью два, так как множитель возведён в квадрат.

Итоговый ответ: уравнение имеет два корня — \(x = 0\) и \(x = 2\), причём корень \(x = 2\) является кратным.

б) Уравнение \(2x^3 + 24x^2 + 72x = 0\) также содержит общий множитель, который можно вынести за скобки. Вынесем \(2x\), получим \(2x(x^2 + 12x + 36) = 0\). Теперь уравнение разбито на два множителя, каждый из которых можно приравнять к нулю.

Первый множитель даёт корень \(x = 0\). Второй — квадратный трёхчлен \(x^2 + 12x + 36\) — это полный квадрат, так как \(36 = 6^2\) и коэффициенты соответствуют формуле \((x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36\). Значит, приравниваем к нулю \((x + 6)^2 = 0\), откуда корень \(x = -6\) с кратностью два.

В итоге уравнение имеет два корня — \(x = 0\) и \(x = -6\), причём корень \(x = -6\) кратный.

в) Уравнение \(1 — 3x + x^2 — 3x^3 = 0\) можно переставить в удобный вид для группировки. Перегруппируем слагаемые так: \((1 — 3x) + x^2(1 — 3x) = 0\). Здесь видно, что выражение содержит общий множитель \(1 — 3x\).

Вынесем этот множитель за скобки: \((1 — 3x)(1 + x^2) = 0\). Теперь уравнение разбито на произведение двух множителей, каждое из которых можно приравнять к нулю. Первый множитель даёт уравнение \(1 — 3x = 0\), откуда корень \(x = \frac{1}{3}\).

Второе уравнение \(1 + x^2 = 0\) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, действительный корень уравнения только один — \(x = \frac{1}{3}\).

г) Уравнение \(x^3 — 4x^2 — 4x + 16 = 0\) удобно решать методом группировки. Разобьём на две части: \(x^2(x — 4) — 4(x — 4) = 0\). Здесь заметен общий множитель \((x — 4)\), который можно вынести за скобки.

После вынесения получаем \((x — 4)(x^2 — 4) = 0\). Второе выражение — разность квадратов — раскладывается как \((x — 2)(x + 2)\). Теперь уравнение имеет вид \((x — 4)(x — 2)(x + 2) = 0\).

Приравниваем каждый множитель к нулю и получаем три корня: \(x = 4\), \(x = 2\), \(x = -2\). Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.