ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 933 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите выражение на множители двумя способами:

1) представьте один из двучленов, заключённых в скобки, в виде суммы или разности двух других, например:

\(x — 2 = (x — y) + (y — z)\), а затем примените группировку;

2) раскройте скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируйте члены так, чтобы получился общий множитель:

а) \(xy(x — y) — xz(x — z) + yz(y — z)\);

б) \(x^2(y — z) + y^2(z — x) + z^2(x — y)\).

1) а) \(xy(x-y)-xz(x-z)+yz(y-z)=\)
\(=xy(x-y)-xz(x-y)-xz(y-z)+yz(y-z)=\)
\(=(x-y)(xy — xz) — (y-z)(xz — yz) = (x-y)(y-z)(x-z)\).

б) \(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=\)
\(=x^2(y-z)-y^2(x-z)+z^2(x-y)=\)
\(= (y-z)(x^2 — y^2) — (x-y)(y^2 — z^2) = (y-z)(x-y)(x-z)\).

2) а) \(xy(x-y)-xz(x-z)+yz(y-z)=\)
\(=x^2 y — x y^2 — x^2 z + x z^2 + y^2 z — y z^2 =\)
\(= (x^2 y — x y^2) — (x^2 z — y^2 z) + (x z^2 — y z^2) =\)
\(= xy(x-y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x-y) =\)
\(= (x-y)(xy — z(x+y) + z^2) = (x-y)(y-z)(x-z)\).

б) \(x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=\)
\(=x^2 y — x^2 z + y^2 z — x y^2 + x z^2 — y z^2 =\)
\(= (x^2 y — x y^2) — (x^2 z — y^2 z) + (x z^2 — y z^2) =\)
\(= xy(x-y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x-y) =\)
\(= (x-y)(xy — z(x+y) + z^2) = (x-y)(y-z)(x-z)\).

1) а) Рассмотрим выражение \(xy(x-y) — xz(x-z) + yz(y-z)\). Сначала раскроем скобки в первых двух слагаемых, чтобы получить более удобную форму для группировки: \(xy(x-y) = x y^2 — x y^2\), а \( -xz(x-z) = -x^2 z + x z^2\). После раскрытия имеем \(x^2 y — x y^2 — x^2 z + x z^2 + y^2 z — y z^2\). Теперь сгруппируем члены так, чтобы выделить общие множители: \((x^2 y — x y^2) — (x^2 z — y^2 z) + (x z^2 — y z^2)\).

Во второй группе заметим, что \(x^2 z — y^2 z = z(x^2 — y^2)\), а в первой и третьей группах можно вынести множители \(xy\) и \(z\) соответственно. Таким образом, выражение перепишется как \(xy(x-y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x-y)\). Далее раскроем разность квадратов в выражении \(x^2 — y^2 = (x-y)(x+y)\) и подставим это обратно, получая \(xy(x-y) — z(x-y)(x+y) + z^2(x-y)\).

Теперь во всех слагаемых есть общий множитель \(x-y\), который можно вынести за скобки: \((x-y)(xy — z(x+y) + z^2)\). Внутри скобок выражение \(xy — z(x+y) + z^2\) можно переписать как \(xy — xz — yz + z^2\), что равно \((x — z)(y — z)\). Следовательно, исходное выражение раскладывается в произведение \((x-y)(y-z)(x-z)\).

б) Для выражения \(x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)\) раскроем скобки: \(x^2 y — x^2 z + y^2 z — y^2 x + z^2 x — z^2 y\). Сгруппируем члены так: \((x^2 y — y^2 x) + (y^2 z — z^2 y) + (z^2 x — x^2 z)\). В каждой паре вынесем общий множитель: \(xy(x — y) + yz(y — z) + zx(z — x)\).

Обратим внимание, что \(yz(y — z) = -yz(z — y)\), поэтому выражение можно переписать как \(xy(x — y) — yz(z — y) + zx(z — x)\). Снова сгруппируем и выделим общие множители, что приведет к аналогичному разложению на \((x-y)(y-z)(x-z)\).

2) а) Начнем с \(xy(x-y) — xz(x-z) + yz(y-z)\). Раскроем скобки: \(x^2 y — x y^2 — x^2 z + x z^2 + y^2 z — y z^2\). Сгруппируем: \((x^2 y — x y^2) — (x^2 z — y^2 z) + (x z^2 — y z^2)\). Вынесем общие множители: \(xy(x-y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x-y)\).

Разложим \(x^2 — y^2\) как \((x-y)(x+y)\), подставим обратно: \(xy(x-y) — z(x-y)(x+y) + z^2(x-y)\). Вынесем \(x-y\): \((x-y)(xy — z(x+y) + z^2)\). Внутри скобок упростим: \(xy — xz — yz + z^2 = (x-z)(y-z)\). Итог: \((x-y)(y-z)(x-z)\).

б) Для \(x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)\) раскроем скобки: \(x^2 y — x^2 z + y^2 z — y^2 x + z^2 x — z^2 y\). Сгруппируем: \((x^2 y — y^2 x) — (x^2 z — y^2 z) + (x z^2 — y z^2)\). Вынесем множители: \(xy(x-y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x-y)\). Продолжим, как в предыдущем пункте, получая \((x-y)(y-z)(x-z)\).