ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 932 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \(\frac{a^3 — a^2 — a + 1}{a^4 — 2a^2 + 1}\);

б) \(\frac{x^2 + y^2 — z^2 + 2xy}{x^2 — y^2 + z^2 + 2xz}\).

а) \( \frac{a^3 — a^2 — a + 1}{a^4 — 2a^2 + 1} = \frac{a^2(a — 1) — (a — 1)}{(a^2 — 1)^2} = \frac{(a — 1)(a^2 — 1)}{(a^2 — 1)^2} = \frac{a — 1}{a^2 — 1} = \frac{a — 1}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}\)

б) \( \frac{x^2 + y^2 — z^2 + 2xy}{x^2 — y^2 + z^2 + 2xz} = \frac{(x + y)^2 — z^2}{(x + z)^2 — y^2} = \frac{(x + y — z)(x + y + z)}{(x + z — y)(x + z + y)} = \frac{x + y — z}{x + z — y}\)

а) Рассмотрим числитель дроби \(a^3 — a^2 — a + 1\). Его можно представить как разность двух выражений: \(a^2(a — 1)\) и \((a — 1)\). Запишем это так: \(a^3 — a^2 — a + 1 = a^2(a — 1) — (a — 1)\). Здесь видно, что общий множитель \((a — 1)\) можно вынести за скобки, тогда числитель примет вид \((a — 1)(a^2 — 1)\).

Далее рассмотрим знаменатель \(a^4 — 2a^2 + 1\). Это выражение является квадратом разности, так как \(a^4 — 2a^2 + 1 = (a^2 — 1)^2\). Подставляя полученные разложения в исходную дробь, получаем \(\frac{(a — 1)(a^2 — 1)}{(a^2 — 1)^2}\).

Теперь можно сократить общий множитель \(a^2 — 1\) в числителе и знаменателе, что дает \(\frac{a — 1}{a^2 — 1}\). Заметим, что \(a^2 — 1\) — это разность квадратов, которую можно разложить на множители: \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\). Подставим это в дробь: \(\frac{a — 1}{(a — 1)(a + 1)}\). После сокращения множителя \(a — 1\) получаем окончательный результат \(\frac{1}{a + 1}\).

б) Начнем с числителя дроби \(x^2 + y^2 — z^2 + 2xy\). Перегруппируем члены так, чтобы выделить полный квадрат: \(x^2 + 2xy + y^2 — z^2\). Здесь первые три слагаемых образуют квадрат суммы \((x + y)^2\), значит числитель можно записать как \((x + y)^2 — z^2\).

Теперь рассмотрим знаменатель \(x^2 — y^2 + z^2 + 2xz\). Аналогично сгруппируем члены: \(x^2 + 2xz + z^2 — y^2\). Первые три слагаемых составляют квадрат суммы \((x + z)^2\), значит знаменатель равен \((x + z)^2 — y^2\).

Используя формулу разности квадратов \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), преобразуем дробь: \(\frac{(x + y)^2 — z^2}{(x + z)^2 — y^2} = \frac{(x + y — z)(x + y + z)}{(x + z — y)(x + z + y)}\). Можно сократить общий множитель \((x + y + z)\) и \((x + z + y)\), так как они равны, и получить результат \(\frac{x + y — z}{x + z — y}\).