ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 931 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители
а) \(2x^3 — 2xy^2 — 6x^2 + 6y^2\);
б) \(5a^2 — 5b^2 — 10a^3 b + 10ab^3\);
в) \(36x^3 — 144x — 36x^2 + 144\);
г) \(y^3 + ay^2 — b y — b^2 a\).

а) Вынесем общий множитель по группам: \(2x^3 — 2xy^2 — 6x^2 + 6y^2 = 2x(x^2 — y^2) — 6(x^2 — y^2)\). Вынесем общий множитель \((x^2 — y^2)\): \((x^2 — y^2)(2x — 6)\). Раскроем разность квадратов: \((x — y)(x + y)\). Вынесем 2 из второго множителя: \(2(x — 3)\). Итог: \(2(x — y)(x + y)(x — 3)\).

б) Группируем: \(5a^2 — 5b^2 — 10a^3 b + 10ab^3 = 5(a^2 — b^2) — 10ab(a^2 — b^2)\). Вынесем общий множитель \((a^2 — b^2)\): \((a^2 — b^2)(5 — 10ab)\). Раскроем разность квадратов: \((a — b)(a + b)\). Вынесем 5: \(5(1 — 2ab)\). Итог: \(5(a — b)(a + b)(1 — 2ab)\).

в) Группируем: \(36x^3 — 144x — 36x^2 + 144 = 36x^2(x — 1) — 144(x — 1)\). Вынесем общий множитель \((x — 1)\): \((x — 1)(36x^2 — 144)\). Вынесем 36: \(36(x^2 — 4)\). Раскроем разность квадратов: \((x — 2)(x + 2)\). Итог: \(36(x — 1)(x — 2)(x + 2)\).

г) Группируем: \(y^3 + ay^2 — b y — b^2 a = y^2(y + a) — b(y + a)\). Вынесем общий множитель \((y + a)\): \((y + a)(y^2 — b^2)\). Раскроем разность квадратов: \((y — b)(y + b)\). Итог: \((y + a)(y — b)(y + b)\).

а) Рассмотрим выражение \(2x^3 — 2xy^2 — 6x^2 + 6y^2\). Сначала группируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель: \(2x^3 — 2xy^2\) и \(-6x^2 + 6y^2\). В первой группе вынесем \(2x\), получится \(2x(x^2 — y^2)\). Во второй группе вынесем \(-6\), получится \(-6(x^2 — y^2)\). Таким образом, выражение перепишется как \(2x(x^2 — y^2) — 6(x^2 — y^2)\).

Теперь заметим, что в обеих частях стоит общий множитель \((x^2 — y^2)\), который можно вынести за скобки. Получаем \((x^2 — y^2)(2x — 6)\). Далее раскроем разность квадратов в первом множителе: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Во втором множителе вынесем общий множитель 2: \(2x — 6 = 2(x — 3)\). В итоге получаем произведение \(2(x — y)(x + y)(x — 3)\).

Таким образом, исходное выражение разложено на множители полностью: \(2(x — y)(x + y)(x — 3)\). Такой способ разложения помогает упростить выражение и увидеть его структуру через произведение простых множителей.

б) Рассмотрим выражение \(5a^2 — 5b^2 — 10a^3 b + 10ab^3\). Для начала сгруппируем слагаемые: \(5a^2 — 5b^2\) и \(-10a^3 b + 10ab^3\). В первой группе вынесем 5, получим \(5(a^2 — b^2)\). Во второй группе вынесем \(-10ab\), получится \(-10ab(a^2 — b^2)\). Теперь запишем выражение в виде \(5(a^2 — b^2) — 10ab(a^2 — b^2)\).

Видим, что общий множитель \((a^2 — b^2)\) присутствует в обеих частях, поэтому можно вынести его за скобки: \((a^2 — b^2)(5 — 10ab)\). Далее раскроем разность квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Во втором множителе вынесем 5: \(5 — 10ab = 5(1 — 2ab)\). Таким образом, окончательное разложение: \(5(a — b)(a + b)(1 — 2ab)\).

Этот метод позволяет упростить сложное выражение, выделяя сначала общие множители, а затем используя формулы сокращенного умножения, что значительно облегчает работу с многочленами.

в) Возьмем выражение \(36x^3 — 144x — 36x^2 + 144\). Группируем слагаемые так: \(36x^3 — 36x^2\) и \(-144x + 144\). В первой группе вынесем \(36x^2\), получится \(36x^2(x — 1)\). Во второй группе вынесем \(-144\), получится \(-144(x — 1)\). Теперь выражение можно записать как \(36x^2(x — 1) — 144(x — 1)\).

Вынесем общий множитель \((x — 1)\): \((x — 1)(36x^2 — 144)\). Во втором множителе вынесем 36: \(36(x^2 — 4)\). Раскроем разность квадратов: \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\). Итоговое разложение: \(36(x — 1)(x — 2)(x + 2)\).

Такое разложение показывает, как можно последовательно выделять общие множители и применять формулы разности квадратов для упрощения выражений.

г) Рассмотрим выражение \(y^3 + ay^2 — b y — b^2 a\). Группируем члены: \(y^3 + ay^2\) и \(-b y — b^2 a\). В первой группе вынесем \(y^2\), получится \(y^2(y + a)\). Во второй группе вынесем \(-b\), получится \(-b(y + a)\). Запишем выражение как \(y^2(y + a) — b(y + a)\).

Вынесем общий множитель \((y + a)\): \((y + a)(y^2 — b)\). Если предположить, что здесь опечатка и должно быть \(y^2 — b^2\), раскроем разность квадратов: \(y^2 — b^2 = (y — b)(y + b)\). Тогда итоговое разложение: \((y + a)(y — b)(y + b)\).

Такой способ разложения позволяет упростить сложные многочлены, разбивая их на произведение более простых множителей, что удобно для дальнейших вычислений и анализа.