ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 930 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(a^3 (a — b) — b^3 (a — b)\);

б) \(x^3 + 8y^3 — (x + 2y)\);

в) \(p^3 (p — 1) — 8(p — 1)\);

г) \((a^3 + b^3) + ab(a + b)\).

а) Вынесем общий множитель \((a — b)\):
\(a^3 (a — b) — b^3 (a — b) = (a — b)(a^3 — b^3)\).

Разложим разность кубов:
\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Итог:
\((a — b)^2 (a^2 + ab + b^2)\).

б) Представим сумму кубов:
\(x^3 + 8y^3 = (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2)\).

Вынесем общий множитель:
\(x^3 + 8y^3 — (x + 2y) = (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2 — 1)\).

в) Вынесем общий множитель \((p — 1)\):
\(p^3 (p — 1) — 8(p — 1) = (p — 1)(p^3 — 8)\).

Разложим разность кубов:
\(p^3 — 8 = (p — 2)(p^2 + 2p + 4)\).

Итог:
\((p — 1)(p — 2)(p^2 + 2p + 4)\).

г) Разложим сумму кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

Вынесем общий множитель \((a + b)\):
\((a^3 + b^3) + ab(a + b) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 + ab) = (a + b)(a^2 + b^2)\).

а) Рассмотрим выражение \(a^3 (a — b) — b^3 (a — b)\). Здесь обе части содержат общий множитель \((a — b)\), поэтому первым шагом будет его вынесение за скобки. Получаем:
\( (a — b)(a^3 — b^3) \).

Далее нужно разложить разность кубов \(a^3 — b^3\). По формуле разности кубов это выражение раскладывается как произведение двух множителей:
\(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Подставляя это обратно, получаем:
\((a — b)(a — b)(a^2 + ab + b^2)\), что можно записать как
\((a — b)^2 (a^2 + ab + b^2)\). Таким образом, исходное выражение разложено на множители.

б) В выражении \(x^3 + 8y^3 — (x + 2y)\) заметим, что \(x^3 + 8y^3\) — это сумма кубов, где \(8y^3 = (2y)^3\). Используем формулу суммы кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\), где \(a = x\), \(b = 2y\).

Подставляя, получаем:
\(x^3 + 8y^3 = (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2)\).

Теперь вычитаем \((x + 2y)\), что позволяет вынести этот множитель:
\((x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) — (x + 2y) = (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2 — 1)\).

Таким образом, выражение разложено на множители с общим множителем \((x + 2y)\).

в) В выражении \(p^3 (p — 1) — 8(p — 1)\) общий множитель — это \((p — 1)\). Вынесем его за скобки:
\((p — 1)(p^3 — 8)\).

Далее разложим разность кубов \(p^3 — 8\). По формуле разности кубов:
\(p^3 — 8 = (p — 2)(p^2 + 2p + 4)\).

Подставляя, получаем окончательное разложение:
\((p — 1)(p — 2)(p^2 + 2p + 4)\).

г) Рассмотрим выражение \((a^3 + b^3) + ab(a + b)\). Сначала разложим сумму кубов \(a^3 + b^3\) по формуле суммы кубов:
\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

Подставим это в исходное выражение:
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) + ab(a + b)\).

Вынесем общий множитель \((a + b)\):
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) + (a + b)(ab) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 + ab)\).

Упростим выражение в скобках, сложив \(-ab\) и \(+ab\):
\(a^2 + b^2\).

Итоговое разложение:
\((a + b)(a^2 + b^2)\).