ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 929 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(3x^2 — 12\);

б) \(2x^2 — 50\);

в) \(5a^2 + 10a + 5\);

г) \(2y^2 — 8y + 8\);

д) \(2b^3 + 54\);

е) \(3m^3 — 81\);

ж) \(x^3 + 2x^2 + x\);

з) \(ax^2 — a\);

и) \(m — m^3\);

к) \(4x^2 + 8x + 4\);

л) \(9y — 4y^3\);

м) \(ax^3 — 8a\).

а) Вынесем 3 за скобки: \(3x^2 — 12 = 3(x^2 — 4)\).
Разложим разность квадратов: \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\).
Ответ: \(3(x — 2)(x + 2)\).

б) Вынесем 2 за скобки: \(2x^2 — 50 = 2(x^2 — 25)\).
Разложим разность квадратов: \(x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)\).
Ответ: \(2(x — 5)(x + 5)\).

в) Вынесем 5 за скобки: \(5a^2 + 10a + 5 = 5(a^2 + 2a + 1)\).
Квадрат бинома: \(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\).
Ответ: \(5(a + 1)^2\).

г) Вынесем 2 за скобки: \(2y^2 — 8y + 8 = 2(y^2 — 4y + 4)\).
Квадрат бинома: \(y^2 — 4y + 4 = (y — 2)^2\).
Ответ: \(2(y — 2)^2\).

д) Вынесем 2 за скобки: \(2b^3 + 54 = 2(b^3 + 27)\).
Сумма кубов: \(b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 — 3b + 9)\).
Ответ: \(2(b + 3)(b^2 — 3b + 9)\).

е) Вынесем 3 за скобки: \(3m^3 — 81 = 3(m^3 — 27)\).
Разность кубов: \(m^3 — 27 = (m — 3)(m^2 + 3m + 9)\).
Ответ: \(3(m — 3)(m^2 + 3m + 9)\).

ж) Вынесем \(x\) за скобки: \(x^3 + 2x^2 + x = x(x^2 + 2x + 1)\).
Квадрат бинома: \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).
Ответ: \(x(x + 1)^2\).

з) Вынесем \(a\) за скобки: \(ax^2 — a = a(x^2 — 1)\).
Разложим разность квадратов: \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\).
Ответ: \(a(x — 1)(x + 1)\).

и) Вынесем \(m\) за скобки: \(m — m^3 = m(1 — m^2)\).
Разложим разность квадратов: \(1 — m^2 = (1 — m)(1 + m)\).
Ответ: \(m(1 — m)(1 + m)\).

к) Вынесем 4 за скобки: \(4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1)\).
Квадрат бинома: \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).
Ответ: \(4(x + 1)^2\).

л) Вынесем \(y\) за скобки: \(9y — 4y^3 = y(9 — 4y^2)\).
Разложим разность квадратов: \(9 — 4y^2 = (3 — 2y)(3 + 2y)\).
Ответ: \(y(3 — 2y)(3 + 2y)\).

м) Вынесем \(a\) за скобки: \(ax^3 — 8a = a(x^3 — 8)\).
Разложим разность кубов: \(x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)\).
Ответ: \(a(x — 2)(x^2 + 2x + 4)\).

д) Выражение \(2b^3 + 54\) можно упростить, вынеся множитель 2 за скобки. Это первый шаг, который помогает сократить сложное выражение до более простого вида. Получаем \(2(b^3 + 27)\). Теперь внутри скобок находится сумма кубов \(b^3 + 27\), где \(27 = 3^3\). Сумма кубов раскладывается по формуле: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

Следующий шаг — применяем эту формулу к нашему выражению. Здесь \(a = b\), а \(b = 3\). Значит, \(b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 — 3b + 9)\). Таким образом, исходное выражение принимает вид \(2(b + 3)(b^2 — 3b + 9)\).

В итоге мы разложили исходное выражение на произведение трех множителей: константы 2, линейного множителя \(b + 3\) и квадратного многочлена \(b^2 — 3b + 9\). Это упрощение полезно для дальнейших вычислений или анализа, так как позволяет видеть структуру выражения и использовать свойства каждого из множителей отдельно. Ответ: \(2(b + 3)(b^2 — 3b + 9)\).

е) Рассмотрим выражение \(3m^3 — 81\). Сначала выделим общий множитель 3, чтобы упростить выражение: \(3(m^3 — 27)\). Теперь внутри скобок разность кубов: \(m^3 — 27\), где \(27 = 3^3\). Разность кубов раскладывается по формуле: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).

Применяя формулу, получаем \(m^3 — 27 = (m — 3)(m^2 + 3m + 9)\). Таким образом, исходное выражение принимает вид \(3(m — 3)(m^2 + 3m + 9)\).

Такое разложение позволяет представить исходный многочлен в виде произведения трех множителей: константы 3, линейного множителя \(m — 3\) и квадратного многочлена \(m^2 + 3m + 9\). Это упрощение полезно для решения уравнений, нахождения корней и анализа свойств многочлена. Ответ: \(3(m — 3)(m^2 + 3m + 9)\).

ж) В выражении \(x^3 + 2x^2 + x\) заметим, что у всех слагаемых есть общий множитель \(x\). Вынесем его за скобки: \(x(x^2 + 2x + 1)\). Внутри скобок находится квадратный трехчлен, который можно распознать как полный квадрат бинома, так как \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).

Таким образом, исходное выражение можно представить как произведение \(x\) и квадрата бинома: \(x(x + 1)^2\). Это разложение показывает, что многочлен имеет корни при \(x = 0\) и \(x = -1\), причем корень \(x = -1\) кратности два.

Такое представление упрощает работу с выражением, например, при решении уравнений или исследовании графика функции. Ответ: \(x(x + 1)^2\).

з) Рассмотрим выражение \(ax^2 — a\). Вынесем общий множитель \(a\) за скобки: \(a(x^2 — 1)\). Внутри скобок разность квадратов \(x^2 — 1\), которую раскладываем по формуле: \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\).

Итоговое разложение: \(a(x — 1)(x + 1)\). Это разложение удобно для анализа корней и упрощения выражений. Ответ: \(a(x — 1)(x + 1)\).

и) В выражении \(m — m^3\) вынесем \(m\) за скобки: \(m(1 — m^2)\). Внутри скобок разность квадратов \(1 — m^2\), раскладываемая по формуле: \(1 — m^2 = (1 — m)(1 + m)\).

Итоговое разложение: \(m(1 — m)(1 + m)\). Это позволяет видеть все корни выражения и их кратности. Ответ: \(m(1 — m)(1 + m)\).