ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 928 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде многочлена, используя формулу разности квадратов:

а) \((m — n)(m^2 + mn + n^2)\);

б) \(((2c + d)^2 — (c + 2d)^2) \cdot 3cd\);

в) \((x + 1)(x — 1)(x^2 + 1)x^2\);

г) \(((a^2 + a)^2 — (a^2 — a)^2) \cdot 5a^2\).

а) Используем формулу разности квадратов:
\((m — n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 — n^3\).

б) Применяем разность квадратов:
\(((2c + d)^2 — (c + 2d)^2) = (2c + d — c — 2d)(2c + d + c + 2d) =\)
\(= (c — d) \cdot 3(c + d)\).
Умножаем на \(3cd\):
\((c — d) \cdot 3(c + d) \cdot 3cd = 9cd (c^2 — d^2) = 9c^3 d — 9 c d^3\).

в) Раскрываем скобки:
\((x + 1)(x — 1) = x^2 — 1\),
\((x^2 — 1)(x^2 + 1) = x^4 — 1\),
умножаем на \(x^2\):
\(x^2 (x^4 — 1) = x^6 — x^2\).

г) Разность квадратов:
\(((a^2 + a)^2 — (a^2 — a)^2) = (a^2 + a — a^2 + a)(a^2 + a + a^2 — a) = 2a \cdot 2a^2\),
умножаем на \(5a^2\):
\(2a \cdot 2a^2 \cdot 5a^2 = 20 a^5\).

а) Выражение \((m — n)(m^2 + mn + n^2)\) представляет собой классическую формулу для разности кубов. Чтобы понять это, вспомним, что \(m^3 — n^3 = (m — n)(m^2 + mn + n^2)\). Здесь первое множимое — разность, а второе — сумма и произведение степеней \(m\) и \(n\). При умножении этих выражений происходит раскрытие скобок с последующим сокращением, что приводит к результату \(m^3 — n^3\). Таким образом, исходное выражение упрощается именно к этой разности кубов.

б) В выражении \(((2c + d)^2 — (c + 2d)^2) \cdot 3cd\) сначала применим формулу разности квадратов: \((A^2 — B^2) = (A — B)(A + B)\), где \(A = 2c + d\), а \(B = c + 2d\). Вычитаем и складываем скобки: \((2c + d) — (c + 2d) = c — d\) и \((2c + d) + (c + 2d) = 3c + 3d = 3(c + d)\). Подставляем обратно и получаем \((c — d) \cdot 3(c + d) \cdot 3cd\). Перемножаем константы и переменные: \(3 \cdot 3cd = 9cd\). Далее используем формулу разности квадратов для \((c — d)(c + d) = c^2 — d^2\). В итоге получаем \(9cd (c^2 — d^2)\), что раскрывается в \(9c^3 d — 9 c d^3\).

в) Рассмотрим выражение \((x + 1)(x — 1)(x^2 + 1)x^2\). Сначала упростим первые два множителя, используя формулу разности квадратов: \((x + 1)(x — 1) = x^2 — 1\). Теперь выражение принимает вид \((x^2 — 1)(x^2 + 1) x^2\). Применяем формулу разности квадратов ко вторым двум скобкам: \((x^2 — 1)(x^2 + 1) = x^4 — 1\). Остается умножить на \(x^2\), что даёт \(x^2 (x^4 — 1) = x^6 — x^2\).

г) Выражение \(((a^2 + a)^2 — (a^2 — a)^2) \cdot 5a^2\) также сводится к разности квадратов. По формуле \((A^2 — B^2) = (A — B)(A + B)\), где \(A = a^2 + a\), \(B = a^2 — a\), вычисляем разность и сумму: \((a^2 + a) — (a^2 — a) = 2a\), \((a^2 + a) + (a^2 — a) = 2a^2\). Подставляем и получаем \(2a \cdot 2a^2 \cdot 5a^2\). Умножаем коэффициенты и переменные: \(2 \cdot 2 \cdot 5 = 20\), а степени складываем: \(a^{1 + 2 + 2} = a^5\). Итог: \(20 a^5\).