ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 927 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \(\frac{x+2}{4 — x^2}\);

б) \(\frac{a^2 — ax}{a^2 — x^2}\);

в) \(\frac{x^2 — y^2}{2ay + 2ax}\);

г) \(\frac{x^2 + 2xy + y^2}{2x^2 — 2y^2}\).

а) \( \frac{x+2}{4 — x^2} = \frac{x+2}{(2 — x)(2 + x)} = \frac{2 + x}{(2 — x)(2 + x)} = \frac{1}{2 — x} \).

б) \( \frac{a^2 — ax}{a^2 — x^2} = \frac{a(a — x)}{(a — x)(a + x)} = \frac{a}{a + x} \).

в) \( \frac{x^2 — y^2}{2ay + 2ax} = \frac{(x — y)(x + y)}{2a(y + x)} = \frac{x — y}{2a} \).

г) \( \frac{x^2 + 2xy + y^2}{2x^2 — 2y^2} = \frac{(x + y)^2}{2(x — y)(x + y)} = \frac{x + y}{2(x — y)} \).

а) В числителе стоит выражение \(x+2\), а в знаменателе — \(4 — x^2\). Заметим, что \(4 — x^2\) можно представить как разность квадратов: \(4 — x^2 = (2 — x)(2 + x)\). Это базовое разложение, которое позволяет упростить выражение. Далее, числитель \(x + 2\) можно переписать как \(2 + x\), что совпадает с одним из множителей в знаменателе.

Теперь дробь принимает вид \( \frac{2 + x}{(2 — x)(2 + x)} \). Поскольку в числителе и знаменателе есть общий множитель \(2 + x\), его можно сократить, при условии, что \(2 + x \neq 0\). После сокращения остается выражение \( \frac{1}{2 — x} \), что и является упрощённым видом исходной дроби.

б) Рассмотрим дробь с числителем \(a^2 — ax\) и знаменателем \(a^2 — x^2\). В числителе можно вынести общий множитель \(a\), получив \(a(a — x)\). В знаменателе выражение \(a^2 — x^2\) — это разность квадратов, которая раскладывается в произведение \((a — x)(a + x)\).

Таким образом, дробь принимает вид \( \frac{a(a — x)}{(a — x)(a + x)} \). Здесь множитель \(a — x\) в числителе и знаменателе можно сократить, если \(a — x \neq 0\). После сокращения остаётся \( \frac{a}{a + x} \), что и является окончательным упрощением.

в) В числителе дроби стоит выражение \(x^2 — y^2\), которое является разностью квадратов и раскладывается как \((x — y)(x + y)\). В знаменателе выражение \(2ay + 2ax\) можно вынести общий множитель \(2a\), что даёт \(2a(y + x)\).

Подставляя разложения, получаем дробь \( \frac{(x — y)(x + y)}{2a(y + x)} \). Поскольку \(y + x\) и \(x + y\) — это одно и то же, эти множители можно сократить. После сокращения остаётся \( \frac{x — y}{2a} \), что и является упрощённой формой исходного выражения.

г) В числителе стоит выражение \(x^2 + 2xy + y^2\), которое является полным квадратом и раскладывается как \((x + y)^2\). В знаменателе выражение \(2x^2 — 2y^2\) можно вынести общий множитель \(2\), после чего остаётся \(2(x^2 — y^2)\). Разность квадратов \(x^2 — y^2\) раскладывается как \((x — y)(x + y)\).

Таким образом, дробь принимает вид \( \frac{(x + y)^2}{2(x — y)(x + y)} \). Множитель \(x + y\) можно сократить в числителе и знаменателе, при условии, что \(x + y \neq 0\). После сокращения остаётся выражение \( \frac{x + y}{2(x — y)} \), что и является упрощённым результатом.