ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 925 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \(\frac{ax + ay — bx — by}{x^2 + xy}\);

б) \(\frac{a^2 — 2ab + b^2}{ac — bc + bd — ad}\);

в) \(\frac{ax — ay — x^2 + xy}{ax — a^2}\);

г) \(\frac{b^2 — 2b + 1}{c — bc + a — ab}\).

а) В числителе группируем: \(ax + ay — bx — by = a(x + y) — b(x + y)\). В знаменателе раскладываем: \(x^2 + xy = x(x + y)\). Сокращаем общий множитель \(x + y\), получаем \(\frac{a — b}{x}\).

б) Числитель — полный квадрат: \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\). Знаменатель группируем: \(ac — bc + bd — ad = c(a — b) — d(a — b) = (a — b)(c — d)\). Сокращаем \((a — b)\), получаем \(\frac{a — b}{c — d}\).

в) В числителе: \(ax — ay — x^2 + xy = a(x — y) — x(x — y) = (a — x)(x — y)\). В знаменателе: \(ax — a^2 = a(x — a)\). Подставляем, учитываем, что \(a — x = -(x — a)\), получаем \(\frac{y — x}{a}\).

г) Числитель — квадрат: \(b^2 — 2b + 1 = (b — 1)^2\). Знаменатель: \(c — bc + a — ab = c(1 — b) + a(1 — b) = (1 — b)(c + a)\). Учитывая, что \(b — 1 = -(1 — b)\), сокращаем и получаем \(\frac{1 — b}{c + a}\).

а) Рассмотрим числитель выражения \(ax + ay — bx — by\). Здесь можно сгруппировать слагаемые по \(a\) и \(b\), выделив общий множитель: \(a(x + y) — b(x + y)\). Это упрощает числитель до разности двух произведений, каждое из которых содержит общий множитель \((x + y)\). Аналогично, в знаменателе \(x^2 + xy\) можно вынести общий множитель \(x\), получив \(x(x + y)\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{a(x + y) — b(x + y)}{x(x + y)}\), где в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель \((x + y)\).

Далее сокращаем дробь, убирая общий множитель \((x + y)\) в числителе и знаменателе. После сокращения остаётся \(\frac{a — b}{x}\), так как \(a(x + y) — b(x + y) = (a — b)(x + y)\). Таким образом, исходная дробь упрощается до выражения \(\frac{a — b}{x}\), что является более компактным и простым вариантом.

б) В числителе выражения \(a^2 — 2ab + b^2\) можно распознать формулу полного квадрата разности, которая равна \((a — b)^2\). Это классическое алгебраическое тождество, позволяющее упростить выражение. В знаменателе выражение \(ac — bc + bd — ad\) можно сгруппировать по общим множителям: \(c(a — b) + d(b — a)\). Поскольку \(b — a = -(a — b)\), знаменатель переписывается как \(c(a — b) — d(a — b) = (a — b)(c — d)\).

Теперь дробь принимает вид \(\frac{(a — b)^2}{(a — b)(c — d)}\). Здесь можно сократить общий множитель \((a — b)\) в числителе и знаменателе, при условии, что \(a \neq b\). После сокращения остаётся \(\frac{a — b}{c — d}\), что является упрощённой формой исходной дроби.

в) В числителе выражения \(ax — ay — x^2 + xy\) сгруппируем слагаемые: \(a(x — y) — x(x — y)\). Здесь видно, что оба слагаемых содержат общий множитель \((x — y)\), поэтому числитель можно представить в виде \((a — x)(x — y)\). Знаменатель \(ax — a^2\) можно записать как \(a(x — a)\), выделив общий множитель \(a\).

Подставляя полученные выражения, дробь становится \(\frac{(a — x)(x — y)}{a(x — a)}\). Обратите внимание, что \(a — x = -(x — a)\), поэтому числитель можно переписать как \(-(x — a)(x — y)\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{-(x — a)(x — y)}{a(x — a)}\). Сокращая общий множитель \((x — a)\) и учитывая знак минус, получаем \(\frac{y — x}{a}\).

г) В числителе выражения \(b^2 — 2b + 1\) распознаём полный квадрат: \((b — 1)^2\). В знаменателе \(c — bc + a — ab\) сгруппируем по множителю \(1 — b\): \(c(1 — b) + a(1 — b) = (1 — b)(c + a)\). Таким образом, дробь принимает вид \(\frac{(b — 1)^2}{(1 — b)(c + a)}\).

Так как \(b — 1 = -(1 — b)\), числитель можно представить как \((-(1 — b))^2 = (1 — b)^2\). Подставляя это, получаем \(\frac{(1 — b)^2}{(1 — b)(c + a)}\). Сокращая общий множитель \(1 — b\), остаётся \(\frac{1 — b}{c + a}\), что и является окончательным упрощением исходной дроби.