ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 924 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:

а) \(3xyz + x^2 y + x^2 z + y^2 x + y^2 z + z^2 x + z^2 y\).

Указание. Представьте выражение \(3xyz\) в виде суммы \(xyz + xyz + xyz\) и сгруппируйте члены многочлена.

б) \(3abc + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) + ab + bc + ac\).

а) Представим \(3xyz\) как \(xyz + xyz + xyz\) и сгруппируем:
\((xyz + x^2 y + x^2 z) + (xyz + y^2 x + y^2 z) + (xyz + z^2 x + z^2 y)\).
Вынесем общий множитель:
\(x(yz + xy + xz) + y(xz + xy + yz) + z(xy + xz + yz)\).
Это равно \((x + y + z)(xy + xz + yz)\).

б) Раскроем скобки и представим \(3abc\) как \(abc + abc + abc\), сгруппируем:
\(ab(c + a + b) + bc(a + b + c) + ac(b + a + c) + ab + bc + ac\).
Вынесем общий множитель:
\((a + b + c)(ab + bc + ac) + (ab + bc + ac)\).
Итог: \((ab + bc + ac)(a + b + c + 1)\).

а) Рассмотрим выражение \(3xyz + x^{2} y + x^{2} z + y^{2} x + y^{2} z + z^{2} x + z^{2} y\). Чтобы упростить его, сначала представим слагаемое \(3xyz\) как сумму трех одинаковых слагаемых: \(xyz + xyz + xyz\). Это позволит нам сгруппировать члены выражения по определённым признакам. После этого перепишем выражение в виде суммы трех групп: \((xyz + x^{2} y + x^{2} z) + (xyz + y^{2} x + y^{2} z) + (xyz + z^{2} x + z^{2} y)\).

В каждой из этих групп можно вынести общий множитель. В первой группе это будет \(x\), так как все слагаемые содержат \(x\): \(x(yz + xy + xz)\). Аналогично во второй группе общий множитель \(y\), и во третьей — \(z\). Таким образом, выражение преобразуется к сумме \(x(yz + xy + xz) + y(xz + xy + yz) + z(xy + xz + yz)\). Обратите внимание, что скобки в каждой части одинаковы и равны \(xy + xz + yz\).

Поскольку сумма в скобках одинакова, её можно вынести за скобки, а оставшиеся множители сложить: \(x + y + z\). В итоге получаем произведение двух выражений: \((x + y + z)(xy + xz + yz)\). Это и есть разложение исходного многочлена на множители.

б) Исходное выражение: \(3abc + ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) + ab + bc + ac\). Для начала раскроем скобки: \(ab(a + b) = a^{2} b + ab^{2}\), \(bc(b + c) = b^{2} c + bc^{2}\), \(ac(a + c) = a c^{2} + a^{2} c\). Подставим эти выражения обратно, получим: \(3abc + a^{2} b + ab^{2} + b^{2} c + bc^{2} + a c^{2} + a^{2} c + ab + bc + ac\).

Далее представим слагаемое \(3abc\) как сумму трех одинаковых слагаемых: \(abc + abc + abc\). Теперь сгруппируем выражение так, чтобы в каждой группе был общий множитель: \((abc + a^{2} b + ab^{2}) + (abc + b^{2} c + bc^{2}) + (abc + a^{2} c + a c^{2}) + ab + bc + ac\). В первых трех группах можно вынести общий множитель: в первой группе — \(ab\), во второй — \(bc\), в третьей — \(ac\). Получаем: \(ab(c + a + b) + bc(a + b + c) + ac(b + a + c) + ab + bc + ac\).

Обратите внимание, что суммы в скобках одинаковы и равны \(a + b + c\). Значит, можно переписать выражение как \((a + b + c)(ab + bc + ac) + (ab + bc + ac)\). Теперь вынесем общий множитель \((ab + bc + ac)\): \((ab + bc + ac)(a + b + c + 1)\). Это и есть разложение исходного выражения на множители.