ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 923 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители трёхчлен, заменив среднее слагаемое суммой двух одночленов:

а) \(x^2 + 6xy + 5y^2\);

б) \(3a^2 + 10ab + 3b^2\);

в) \(a^2 + 3a + 2\);

г) \(x^2 + 8x + 7\);

д) \(c^2 — 9bc + 20b^2\);

е) \(n^2 + 2n — 3\).

а) \(x^2 + 6xy + 5y^2 = x^2 + xy + 5xy + 5y^2 = x(x + y) + 5y(x + y) =\)
\(= (x + y)(x + 5y)\).

б) \(3a^2 + 10ab + 3b^2 = 3a^2 + 9ab + ab + 3b^2 = 3a(a + 3b) + b(a + 3b) =\)
\(= (a + 3b)(3a + b)\).

в) \(a^2 + 3a + 2 = a^2 + 2a + a + 2 = a(a + 2) + 1(a + 2) =\)
\(= (a + 2)(a + 1)\).

г) \(x^2 + 8x + 7 = x^2 + 7x + x + 7 = x(x + 7) + 1(x + 7) =\)
\(= (x + 7)(x + 1)\).

д) \(c^2 — 9bc + 20b^2 = c^2 — 5bc — 4bc + 20b^2 = c(c — 5b) — 4b(c — 5b) =\)
\(= (c — 5b)(c — 4b)\).

е) \(n^2 + 2n — 3 = n^2 + 3n — n — 3 = n(n + 3) — 1(n + 3) =\)
\(= (n + 3)(n — 1)\).

а) Начинаем с выражения \(x^2 + 6xy + 5y^2\). Чтобы разложить на множители, нужно представить средний член \(6xy\) в виде суммы двух одночленов, которые удобно сгруппировать. Разложим \(6xy\) как \(xy + 5xy\), тогда выражение примет вид \(x^2 + xy + 5xy + 5y^2\). Теперь сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \(x^2 + xy\) и \(5xy + 5y^2\). В каждой группе можно вынести общий множитель: из первых двух — \(x(x + y)\), из вторых — \(5y(x + y)\). Видим, что в обеих группах есть общий множитель \(x + y\), поэтому можно вынести его за скобки. В итоге получаем разложение \((x + y)(x + 5y)\).

б) Рассмотрим выражение \(3a^2 + 10ab + 3b^2\). Средний член \(10ab\) мы разложим на сумму двух слагаемых, удобных для группировки. Представим \(10ab\) как \(9ab + ab\), тогда выражение становится \(3a^2 + 9ab + ab + 3b^2\). Группируем первые два и последние два слагаемых: \(3a^2 + 9ab\) и \(ab + 3b^2\). В первой группе можно вынести \(3a\), получим \(3a(a + 3b)\), во второй — \(b\), получим \(b(a + 3b)\). Общим множителем является \(a + 3b\), который выносим за скобки. Итоговое разложение: \((a + 3b)(3a + b)\).

в) В выражении \(a^2 + 3a + 2\) средний член \(3a\) раскладываем как \(2a + a\). Тогда выражение переписывается как \(a^2 + 2a + a + 2\). Группируем первые два и последние два слагаемых: \(a^2 + 2a\) и \(a + 2\). Из первой группы выносим \(a\), получаем \(a(a + 2)\), во второй группе общий множитель — \(1\), то есть \(1(a + 2)\). Общий множитель — \(a + 2\), выносим его за скобки и получаем \((a + 2)(a + 1)\).

г) Для \(x^2 + 8x + 7\) средний член \(8x\) представим как \(7x + x\). Тогда выражение примет вид \(x^2 + 7x + x + 7\). Группируем: \(x^2 + 7x\) и \(x + 7\). Из первой группы выносим \(x\), получаем \(x(x + 7)\), во второй — \(1(x + 7)\). Общим множителем будет \(x + 7\), выносим его за скобки, итог: \((x + 7)(x + 1)\).

д) В выражении \(c^2 — 9bc + 20b^2\) средний член \(-9bc\) раскладываем как \(-5bc — 4bc\). Тогда выражение переписывается как \(c^2 — 5bc — 4bc + 20b^2\). Группируем: \(c^2 — 5bc\) и \(-4bc + 20b^2\). Из первой группы выносим \(c\), получаем \(c(c — 5b)\), из второй — \(-4b\), получаем \(-4b(c — 5b)\). Общий множитель — \(c — 5b\), выносим за скобки, итог: \((c — 5b)(c — 4b)\).

е) Для \(n^2 + 2n — 3\) средний член \(2n\) представим как \(3n — n\). Тогда выражение становится \(n^2 + 3n — n — 3\). Группируем: \(n^2 + 3n\) и \(-n — 3\). Из первой группы выносим \(n\), получаем \(n(n + 3)\), из второй — \(-1\), получаем \(-1(n + 3)\). Общий множитель — \(n + 3\), выносим его за скобки, итог: \((n + 3)(n — 1)\).