ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 922 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) \(xyz + 4xz + 3xy + 12x\);

б) \(2a + a^2 + 2a^3 + a^4\);

в) \(m^3 + m^2 n — m^2 a — m n a\);

г) \(b^4 — b^3 + b^2 — b\).

а) Группируем по \(x\): \(xyz + 4xz + 3xy + 12x = xz(y + 4) + 3x(y + 4) =\)
\(= (y + 4)(xz + 3x) = x(y + 4)(z + 3)\).

б) Группируем слагаемые: \(2a + a^2 + 2a^3 + a^4 = a(2 + a) + a^3(2 + a) =\)
\(= (2 + a)(a + a^3) = a(2 + a)(1 + a^2)\).

в) Вынесем общий множитель: \(m^3 + m^2 n — m^2 a — m n a = m^2(m + n) — ma(m + n) =\)
\(= (m + n)(m^2 — ma) = m(m + n)(m — a)\).

г) Группируем: \(b^4 — b^3 + b^2 — b = b^3(b — 1) + b(b — 1) = (b — 1)(b^3 + b) = b(b — 1)(b^2 + 1)\).

а) Рассмотрим многочлен \(xyz + 4xz + 3xy + 12x\). В нем можно выделить общий множитель \(x\) в каждой группе слагаемых. Разобьем выражение на две части: \(xyz + 4xz\) и \(3xy + 12x\). В первой части вынесем \(xz\), получим \(xz(y + 4)\). Во второй части вынесем \(3x\), получится \(3x(y + 4)\). Теперь у нас есть общий множитель \(y + 4\), который можно вынести за скобки: \((y + 4)(xz + 3x)\). Внутри второй скобки можно вынести \(x\), тогда выражение примет вид \(x(y + 4)(z + 3)\).

б) Рассмотрим выражение \(2a + a^2 + 2a^3 + a^4\). Здесь удобно сгруппировать слагаемые так: \(2a + a^2\) и \(2a^3 + a^4\). В первой группе вынесем \(a\), получится \(a(2 + a)\). Во второй группе вынесем \(a^3\), получится \(a^3(2 + a)\). Теперь видим общий множитель \(2 + a\), который можно вынести за скобки: \((2 + a)(a + a^3)\). Внутри второй скобки вынесем \(a\), тогда получим \(a(1 + a^2)\). В итоге многочлен равен \(a(2 + a)(1 + a^2)\).

в) Рассмотрим многочлен \(m^3 + m^2 n — m^2 a — m n a\). Разобьем его на две группы: \(m^3 + m^2 n\) и \(- m^2 a — m n a\). В первой группе вынесем \(m^2\), получится \(m^2(m + n)\). Во второй группе вынесем \(- m a\), получится \(- m a(m + n)\). Теперь у нас общий множитель \(m + n\), который можно вынести за скобки: \((m + n)(m^2 — m a)\). Внутри второй скобки вынесем \(m\), получим \(m(m — a)\). В итоге выражение равно \(m(m + n)(m — a)\).

г) Рассмотрим выражение \(b^4 — b^3 + b^2 — b\). Разобьем на две части: \(b^4 — b^3\) и \(b^2 — b\). В первой группе вынесем \(b^3\), получится \(b^3(b — 1)\). Во второй группе вынесем \(b\), получится \(b(b — 1)\). Теперь общий множитель \(b — 1\) можно вынести за скобки: \((b — 1)(b^3 + b)\). Внутри второй скобки вынесем \(b\), получим \(b(b^2 + 1)\). В итоге многочлен равен \(b(b — 1)(b^2 + 1)\).