ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 921 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Проверьте справедливость равенств:

\(2 \cdot 3 + 3 = 3^2\); \(3 \cdot 4 + 4 = 4^2\); \(4 \cdot 5 + 5 = 5^2\).

Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

1) \(2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9 = 3^2\)
\(3 \cdot (2 + 1) = 3^2\)
\(3 \cdot 3 = 3^2\)
\(3^2 = 3^2\).

2) \(3 \cdot 4 + 4 = 12 + 4 = 16 = 4^2\)
\(4 \cdot (3 + 1) = 4^2\)
\(4 \cdot 4 = 4^2\)
\(4^2 = 4^2\).

3) \(4 \cdot 5 + 5 = 20 + 5 = 25 = 5^2\)
\(5 \cdot (4 + 1) = 5^2\)
\(5 \cdot 5 = 5^2\)
\(5^2 = 5^2\).

Пусть даны два последовательных натуральных числа: \(n\) и \(n+1\).
Тогда \(n(n+1) + (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2\), что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим первое равенство: \(2 \cdot 3 + 3 = 3^2\). Сначала вычислим произведение \(2 \cdot 3 = 6\), затем прибавим \(3\), получим \(6 + 3 = 9\). Теперь сравним с квадратом числа 3, который равен \(3^2 = 9\). Значит, равенство верно. Далее, перепишем это равенство в виде \(3 \cdot (2 + 1) = 3^2\). Здесь видно, что произведение числа 3 на сумму \(2 + 1\) равно квадрату 3. Аналогично, \(3 \cdot 3 = 3^2\), что подтверждает правильность равенства.

2) Во втором примере проверим равенство \(3 \cdot 4 + 4 = 4^2\). Сначала вычислим произведение \(3 \cdot 4 = 12\), затем прибавим \(4\), получим \(12 + 4 = 16\). Квадрат числа 4 равен \(4^2 = 16\), значит, равенство выполняется. Также это можно записать как \(4 \cdot (3 + 1) = 4^2\), то есть произведение числа 4 на сумму \(3 + 1\) равно квадрату 4. Это подтверждается тем, что \(4 \cdot 4 = 4^2\).

3) В третьем примере рассмотрим равенство \(4 \cdot 5 + 5 = 5^2\). Сначала вычислим произведение \(4 \cdot 5 = 20\), затем прибавим \(5\), получим \(20 + 5 = 25\). Квадрат числа 5 равен \(5^2 = 25\), значит, равенство верно. Аналогично, это можно записать как \(5 \cdot (4 + 1) = 5^2\), то есть произведение числа 5 на сумму \(4 + 1\) равно квадрату 5. Таким образом, \(5 \cdot 5 = 5^2\).

Пусть теперь даны два последовательных натуральных числа: \(n\) и \(n+1\). Последовательными они называются, потому что второе число больше первого ровно на 1. Рассмотрим выражение \(n(n+1) + (n+1)\). Здесь сначала вычисляется произведение двух последовательных чисел \(n\) и \(n+1\), а затем к результату прибавляется большее число из них — \(n+1\).

Вынесем общий множитель \(n+1\) за скобки: \(n(n+1) + (n+1) = (n+1)(n + 1)\). Это равенство показывает, что сумма произведения и большего числа равна произведению \(n+1\) на само себя, то есть квадрату числа \(n+1\). Следовательно, \(n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2\). Это и доказывает, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.