ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 919 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вынесите за скобки общий множитель:

а) \(2^n + 1 + 2^n\);

б) \(3^{2n} — 3^n\);

в) \(5^{n-1} — 5^{n+1}\);

г) \(7^{n+1} + 7^n + 7\).

а) \(2^{n+1} + 2^n = 2^n \cdot 2 + 2^n = 2^n (2 + 1) = 2^n \cdot 3\).

б) \(5^{n-1} — 5^{n+1} = 5^{n-1} — 5^{n-1} \cdot 25 = 5^{n-1} (1 — 25) =\)
\(= 5^{n-1} \cdot (-24) = -24 \cdot 5^{n-1}\).

в) \(3^{2n} — 3^n = (3^n)^2 — 3^n = 3^n (3^n — 1)\).

г) \(7^{n+1} + 7^n + 7 = 7 \cdot 7^n + 7^n + 7 = 7 (7^n + 7^{n-1} + 1)\).

а) Рассмотрим выражение \(2^{n+1} + 2^n\). Чтобы упростить его, нужно найти общий множитель. Обратим внимание, что \(2^{n+1}\) можно представить как \(2^n \cdot 2\), так как степени с одинаковым основанием перемножаются путём сложения показателей степени. Тогда выражение перепишется как \(2^n \cdot 2 + 2^n\). Теперь видно, что \(2^n\) является общим множителем в обеих слагаемых. Вынесем его за скобки: \(2^n (2 + 1)\). Внутри скобок просто сложим числа, получаем \(2^n \cdot 3\). Таким образом, общий множитель — \(2^n\), а выражение упрощается до \(2^n \cdot 3\).

б) В выражении \(5^{n-1} — 5^{n+1}\) также можно выделить общий множитель. Заметим, что \(5^{n+1} = 5^{n-1} \cdot 5^2 = 5^{n-1} \cdot 25\), используя свойство степеней, где степени с одинаковым основанием при умножении складываются. Тогда исходное выражение можно записать как \(5^{n-1} — 5^{n-1} \cdot 25\). Теперь очевидно, что общий множитель — \(5^{n-1}\). Вынесем его за скобки: \(5^{n-1} (1 — 25)\). Вычислим разность в скобках: \(1 — 25 = -24\). Итоговое выражение принимает вид \(-24 \cdot 5^{n-1}\).

в) Рассмотрим \(3^{2n} — 3^n\). Здесь \(3^{2n}\) можно представить как \((3^n)^2\), так как степень степени перемножаются путём умножения показателей. Тогда выражение становится \((3^n)^2 — 3^n\). Заметим, что \(3^n\) является общим множителем, так как первое слагаемое — квадрат этого множителя, а второе — сам множитель. Вынесем \(3^n\) за скобки: \(3^n (3^n — 1)\). Таким образом, общий множитель — \(3^n\), а выражение упрощается до произведения \(3^n\) и разности \(3^n — 1\).

г) В выражении \(7^{n+1} + 7^n + 7\) можно заметить, что каждое слагаемое связано с основанием 7. Запишем \(7\) как \(7^1\), чтобы привести все слагаемые к степени с основанием 7. Тогда выражение будет \(7^{n+1} + 7^n + 7^1\). Вынесем за скобки наименьшую степень, которой является \(7\). Для этого представим \(7^{n+1} = 7 \cdot 7^n\) и \(7^n = 7 \cdot 7^{n-1}\). Тогда исходное выражение перепишется в виде \(7 \cdot 7^n + 7 \cdot 7^{n-1} + 7\). Вынесем \(7\) за скобки: \(7 (7^n + 7^{n-1} + 1)\). Таким образом, общий множитель — \(7\), а выражение упрощается до произведения \(7\) и суммы \(7^n + 7^{n-1} + 1\).