ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 916 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите разными способами, что:

а) \(a^5 — b^5 = (a — b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4)\);

б) \(a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 — a^3 b + a^2 b^2 — ab^3 + b^4)\).

а) Раскроем скобки:
\((a — b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4) =\)
\(= a^5 + a^4 b + a^3 b^2 + a^2 b^3 + a b^4 — a^4 b — a^3 b^2 — a^2 b^3 — a b^4 — b^5 =\)
\(= a^5 — b^5\).

Или сгруппируем:
\(a^5 — b^5 =\)
\(= a^4 (a — b) + a^3 b (a — b) + a^2 b^2 (a — b) + a b^3 (a — b) + b^4 (a — b) =\)
\(= (a — b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4)\).

б) Раскроем скобки:
\((a + b)(a^4 — a^3 b + a^2 b^2 — a b^3 + b^4) =\)
\(= a^5 — a^4 b + a^3 b^2 — a^2 b^3 + a b^4 + a^4 b — a^3 b^2 + a^2 b^3 — a b^4 + b^5 =\)
\(= a^5 + b^5\).

Или сгруппируем:
\(a^5 + b^5 =\)
\(= a^4 (a + b) — a^3 b (a + b) + a^2 b^2 (a + b) — a b^3 (a + b) + b^4 (a + b) =\)
\(= (a + b)(a^4 — a^3 b + a^2 b^2 — a b^3 + b^4)\).

а) Рассмотрим выражение \((a — b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4)\). Чтобы доказать равенство, раскроем скобки, умножая каждый член второго многочлена на \(a\) и на \(-b\). При умножении на \(a\) получаем \(a \cdot a^4 = a^5\), \(a \cdot a^3 b = a^4 b\), \(a \cdot a^2 b^2 = a^3 b^2\), \(a \cdot a b^3 = a^2 b^3\), \(a \cdot b^4 = a b^4\). При умножении на \(-b\) получаем \(-b \cdot a^4 = -a^4 b\), \(-b \cdot a^3 b = -a^3 b^2\), \(-b \cdot a^2 b^2 = -a^2 b^3\), \(-b \cdot a b^3 = -a b^4\), \(-b \cdot b^4 = -b^5\).

Сложив полученные слагаемые, видим, что все члены, кроме \(a^5\) и \(-b^5\), взаимно уничтожаются: \(a^4 b\) и \(-a^4 b\), \(a^3 b^2\) и \(-a^3 b^2\), \(a^2 b^3\) и \(-a^2 b^3\), \(a b^4\) и \(-a b^4\). В итоге остается \(a^5 — b^5\), что доказывает первое равенство.

Другой способ — разложить \(a^5 — b^5\) на сумму слагаемых с общим множителем \((a — b)\). Запишем \(a^5 — b^5\) как сумму: \(a^5 — a^4 b + a^4 b — a^3 b^2 + a^3 b^2 — a^2 b^3 + a^2 b^3 — a b^4 + a b^4 — b^5\). Группируем по пять пар, вынося \((a — b)\) за скобки: \(a^4 (a — b) + a^3 b (a — b) + a^2 b^2 (a — b) + a b^3 (a — b) + b^4 (a — b)\). После вынесения общего множителя получаем то же выражение, что и в правой части исходного равенства.

б) Для доказательства второго равенства рассмотрим выражение \((a + b)(a^4 — a^3 b + a^2 b^2 — a b^3 + b^4)\). Раскрываем скобки, умножая каждый член второго многочлена на \(a\) и на \(b\). При умножении на \(a\) получаем \(a^5\), \(-a^4 b\), \(a^3 b^2\), \(-a^2 b^3\), \(a b^4\). При умножении на \(b\) получаем \(a^4 b\), \(-a^3 b^2\), \(a^2 b^3\), \(-a b^4\), \(b^5\).

Складывая эти слагаемые, замечаем, что все члены, кроме \(a^5\) и \(b^5\), взаимно сокращаются: \(-a^4 b\) и \(a^4 b\), \(a^3 b^2\) и \(-a^3 b^2\), \(-a^2 b^3\) и \(a^2 b^3\), \(a b^4\) и \(-a b^4\). В итоге остается \(a^5 + b^5\), что и требовалось доказать.

Аналогично первому случаю, можно разложить \(a^5 + b^5\) в виде суммы слагаемых с общим множителем \((a + b)\). Запишем \(a^5 + b^5\) как сумму: \(a^5 + a^4 b — a^4 b — a^3 b^2 + a^3 b^2 + a^2 b^3 — a^2 b^3 — a b^4 + a b^4 + b^5\). Группируем по пять пар: \(a^4 (a + b) — a^3 b (a + b) + a^2 b^2 (a + b) — a b^3 (a + b) + b^4 (a + b)\). Вынесение общего множителя \((a + b)\) дает правую часть исходного равенства.