ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 915 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение \(x^4 + 4x^2 — 5 = 0\).

\(x^4 + 4x^2 — 5 = 0\)

\(x^4 + 4x^2 + 4 — 4 — 5 = 0\)

\((x^2 + 2)^2 — 9 = 0\)

\((x^2 + 2 — 3)(x^2 + 2 + 3) = 0\)

\((x^2 — 1)(x^2 + 5) = 0\)

\((x — 1)(x + 1)(x^2 + 5) = 0\)

\(x — 1 = 0, \quad x + 1 = 0, \quad x^2 + 5 = 0\)

\(x = 1, \quad x = -1, \quad x^2 = -5\) — корней нет.

Ответ: \(x = \pm 1\)

Рассмотрим уравнение \(x^4 + 4x^2 — 5 = 0\). Это уравнение четвёртой степени, которое напрямую решать сложно, поэтому применим метод замены переменной для упрощения. Заметим, что члены уравнения содержат только степени \(x^4\) и \(x^2\), что позволяет ввести новую переменную \(y = x^2\). Тогда \(x^4 = (x^2)^2 = y^2\), и исходное уравнение перепишется в виде \(y^2 + 4y — 5 = 0\). Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y\), которое легче решать.

Далее найдем корни уравнения \(y^2 + 4y — 5 = 0\). Для этого вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\). Подставляя, получаем \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня, которые вычисляются по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(y_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{-4 — 6}{2} = -5\).

Теперь нужно вернуться к переменной \(x\), учитывая, что \(y = x^2\). Значит, у нас есть два уравнения: \(x^2 = 1\) и \(x^2 = -5\). Первое уравнение решается просто: \(x = \pm 1\). Второе уравнение \(x^2 = -5\) не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, корнями исходного уравнения являются только \(x = 1\) и \(x = -1\). Ответ: \(x = \pm 1\).