ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 914 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) \(n^4 + n^2 + 1\);

б) \(n^8 + n^4 + 1\).

а) \(n^4 + n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 — n^2 + 1 = (n^4 + 2n^2 + 1) — n^2 \)
\(= (n^2 + 1)^2 — n^2 = (n^2 + 1 — n)(n^2 + 1 + n)\).

б) \(n^8 + n^4 + 1 = n^8 + 2n^4 — n^4 + 1 = (n^8 + 2n^4 + 1) — n^4 =\)
\(= (n^4 + 1)^2 — n^4 = (n^4 + 1 — n^2)(n^4 + 1 + n^2)\).

Далее \(n^4 + 1 — n^2 = (n^2 — n + 1)(n^2 + n + 1)\), значит

\(n^8 + n^4 + 1 = (n^2 — n + 1)(n^2 + n + 1)(n^4 + n^2 + 1)\).

а) Рассмотрим многочлен \(n^4 + n^2 + 1\). Чтобы упростить разложение, добавим и вычтем \(n^2\), тогда выражение примет вид \(n^4 + 2n^2 — n^2 + 1\). Теперь сгруппируем: \((n^4 + 2n^2 + 1) — n^2\). Заметим, что внутри скобок стоит полный квадрат \((n^2 + 1)^2\), поэтому можно записать как \((n^2 + 1)^2 — n^2\).

Это выражение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле \((a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)\). Здесь \(a = n^2 + 1\), а \(b = n\). Значит, получаем разложение \((n^2 + 1 — n)(n^2 + 1 + n)\). Таким образом, исходный многочлен распадается на два множителя второго порядка.

б) Теперь рассмотрим многочлен \(n^8 + n^4 + 1\). Аналогично первому случаю, добавим и вычтем \(n^4\), получая \(n^8 + 2n^4 — n^4 + 1\). Снова сгруппируем: \((n^8 + 2n^4 + 1) — n^4\). Внутри скобок находится полный квадрат \((n^4 + 1)^2\), поэтому выражение можно переписать как \((n^4 + 1)^2 — n^4\).

Это опять разность квадратов, разлагаемая по формуле \((a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)\), где \(a = n^4 + 1\), \(b = n^2\). Получаем множители \((n^4 + 1 — n^2)(n^4 + 1 + n^2)\). Далее рассмотрим первый множитель: \(n^4 + 1 — n^2\). Он совпадает с многочленом из пункта а), только с минусом перед \(n^2\). Это выражение раскладывается на \((n^2 — n + 1)(n^2 + n + 1)\).

В итоге исходный многочлен раскладывается на три множителя: \((n^2 — n + 1)(n^2 + n + 1)(n^4 + n^2 + 1)\). Таким образом, мы получили полное разложение исходного выражения на множители третьего порядка и выше.