ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 913 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:

а) \(a^3 — 5a^2 + 9a — 5\);

б) \(x^4 + 4x^2 y^2 — 5y^4\).

а) \(a^3 — 5a^2 + 9a — 5 = (a^3 — a) + (-5a^2 + 10a — 5) =\)
\(= a(a^2 — 1) — 5(a^2 — 2a + 1) =\)
\(= a(a — 1)(a + 1) — 5(a — 1)^2 = (a — 1)(a(a + 1) — 5(a — 1)) =\)
\(= (a — 1)(a^2 + a — 5a + 5) = (a — 1)(a^2 — 4a + 5)\)

б) \(x^4 + 4x^2 y^2 — 5y^4 = x^4 + 4x^2 y^2 + 4y^4 — 9y^4 = (x^2 + 2y^2)^2 — (3y^2)^2 =\)
\(= (x^2 + 2y^2 — 3y^2)(x^2 + 2y^2 + 3y^2) = (x^2 — y^2)(x^2 + 5y^2) =\)
\(= (x — y)(x + y)(x^2 + 5y^2)\)

а) Рассмотрим многочлен \(a^3 — 5a^2 + 9a — 5\). Сначала сгруппируем члены так, чтобы выделить общие множители: \( (a^3 — a) + (-5a^2 + 10a — 5) \). В первой группе можно вынести \(a\), так как он общий множитель, во второй группе — число \(-5\). Получаем выражение \(a(a^2 — 1) — 5(a^2 — 2a + 1)\). Обратите внимание, что \(a^2 — 1\) и \(a^2 — 2a + 1\) можно представить в виде квадратов разности и суммы: \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\), а \(a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\).

Теперь перепишем выражение с учётом этого: \(a(a — 1)(a + 1) — 5(a — 1)^2\). Здесь видно, что множитель \((a — 1)\) присутствует в обеих частях, поэтому его можно вынести за скобки: \((a — 1)(a(a + 1) — 5(a — 1))\). Раскроем внутренние скобки: \(a^2 + a — 5a + 5\), что упрощается до \(a^2 — 4a + 5\). Таким образом, итоговый вид многочлена после разложения на множители: \((a — 1)(a^2 — 4a + 5)\).

б) Рассмотрим многочлен \(x^4 + 4x^2 y^2 — 5y^4\). Чтобы упростить его, добавим и вычтем \(4y^4\), чтобы получить полный квадрат: \(x^4 + 4x^2 y^2 + 4y^4 — 9y^4\). Первая часть \(x^4 + 4x^2 y^2 + 4y^4\) — это квадрат суммы \((x^2 + 2y^2)^2\). А вторая часть — квадрат числа \(3y^2\), то есть \((3y^2)^2\). Следовательно, многочлен можно записать как разность квадратов: \((x^2 + 2y^2)^2 — (3y^2)^2\).

Используем формулу разности квадратов: \((A^2 — B^2) = (A — B)(A + B)\), где \(A = x^2 + 2y^2\), а \(B = 3y^2\). Получаем \((x^2 + 2y^2 — 3y^2)(x^2 + 2y^2 + 3y^2) = (x^2 — y^2)(x^2 + 5y^2)\). Последний шаг — разложить \(x^2 — y^2\) как разность квадратов: \((x — y)(x + y)\). В итоге многочлен раскладывается в произведение \((x — y)(x + y)(x^2 + 5y^2)\).