ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 910 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения (для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом, рассмотренным в упражнении 896):

а) \(x^2 + 4x + 3\);

б) \(x^2 + 2x — 8\);

в) \(x^2 — 2x — 3\);

г) \(x^2 — 10x + 16\).

а) \(x^2 + 4x + 3 = 0\)
\(x^2 + 4x + 4 — 4 + 3 = 0\)
\((x + 2)^2 — 1 = 0\)
\((x + 1)(x + 3) = 0\)
\(x = -1; \quad x = -3\)

б) \(x^2 + 2x — 8 = 0\)
\(x^2 + 2x + 1 — 1 — 8 = 0\)
\((x + 1)^2 — 9 = 0\)
\((x — 2)(x + 4) = 0\)
\(x = 2; \quad x = -4\)

в) \(x^2 — 2x — 3 = 0\)
\(x^2 — 2x + 1 — 1 — 3 = 0\)
\((x — 1)^2 — 4 = 0\)
\((x — 3)(x + 1) = 0\)
\(x = 3; \quad x = -1\)

г) \(x^2 — 10x + 16 = 0\)
\(x^2 — 10x + 25 — 25 + 16 = 0\)
\((x — 5)^2 — 9 = 0\)
\((x — 8)(x — 2) = 0\)
\(x = 8; \quad x = 2\)

а) Рассмотрим уравнение \(x^2 + 4x + 3 = 0\). Чтобы решить его методом выделения полного квадрата, сначала нужно преобразовать выражение так, чтобы первые три члена образовали квадрат двучлена. Для этого к уравнению добавим и вычтем одинаковое число, равное квадрату половины коэффициента при \(x\). Коэффициент при \(x\) равен 4, половина — 2, квадрат половины — \(2^2 = 4\). Запишем:
\(x^2 + 4x + 4 — 4 + 3 = 0\).
Теперь первые три слагаемых — это полный квадрат: \((x + 2)^2\). Перепишем уравнение:
\((x + 2)^2 — 1 = 0\).
Это уравнение разности квадратов, которое раскладывается как произведение:
\((x + 2 — 1)(x + 2 + 1) = 0\), или
\((x + 1)(x + 3) = 0\).
Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два корня: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) и \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\).

б) Уравнение \(x^2 + 2x — 8 = 0\) решаем аналогичным способом. Сначала выделим полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна 1, квадрат половины — 1. Добавим и вычтем 1:
\(x^2 + 2x + 1 — 1 — 8 = 0\).
Первые три слагаемых образуют полный квадрат: \((x + 1)^2\). Запишем уравнение:
\((x + 1)^2 — 9 = 0\).
Это разность квадратов, раскладываем на множители:
\((x + 1 — 3)(x + 1 + 3) = 0\), или
\((x — 2)(x + 4) = 0\).
Решая каждое уравнение, получаем корни: \(x = 2\) и \(x = -4\).

в) Для уравнения \(x^2 — 2x — 3 = 0\) выделим полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \(-1\), квадрат половины — 1. Добавим и вычтем 1:
\(x^2 — 2x + 1 — 1 — 3 = 0\).
Первые три члена дают квадрат двучлена: \((x — 1)^2\). Перепишем:
\((x — 1)^2 — 4 = 0\).
Разложим разность квадратов:
\((x — 1 — 2)(x — 1 + 2) = 0\), или
\((x — 3)(x + 1) = 0\).
Отсюда корни: \(x = 3\) и \(x = -1\).

г) В уравнении \(x^2 — 10x + 16 = 0\) выделим полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \(-5\), квадрат половины — 25. Добавим и вычтем 25:
\(x^2 — 10x + 25 — 25 + 16 = 0\).
Первые три слагаемых образуют квадрат двучлена: \((x — 5)^2\). Запишем уравнение:
\((x — 5)^2 — 9 = 0\).
Разложим разность квадратов:
\((x — 5 — 3)(x — 5 + 3) = 0\), или
\((x — 8)(x — 2) = 0\).
Решая уравнения, получаем корни: \(x = 8\) и \(x = 2\).