ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 909 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \((x+1)^2 — 4 = 0\);

б) \((x+2)^2 — 9 = 0\);

в) \(1 — (x-3)^2 = 0\);

г) \(25 — (10 — x)^2 = 0\).

а) \((x+1)^2 — 4 = 0\)
Разложение: \((x+1-2)(x+1+2) = 0\), то есть \((x-1)(x+3) = 0\).
Решения: \(x = 1\), \(x = -3\).

б) \((x+2)^2 — 9 = 0\)
Разложение: \((x+2-3)(x+2+3) = 0\), то есть \((x-1)(x+5) = 0\).
Решения: \(x = 1\), \(x = -5\).

в) \(1 — (x-3)^2 = 0\)
Перепишем: \((1 — x + 3)(1 + x — 3) = 0\), то есть \((4 — x)(x — 2) = 0\).
Решения: \(x = 4\), \(x = 2\).

г) \(25 — (10 — x)^2 = 0\)
Разложение: \((5 — 10 + x)(5 + 10 — x) = 0\), то есть \((x — 5)(15 — x) = 0\).
Решения: \(x = 5\), \(x = 15\).

а) Уравнение \((x+1)^2 — 4 = 0\) представляет собой разность квадратов, где первое слагаемое — это квадрат выражения \((x+1)\), а второе — квадрат числа 2. Чтобы решить уравнение, применяем формулу разности квадратов: \((a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)\). В нашем случае \(a = x+1\), \(b = 2\), значит уравнение можно переписать как \((x+1 — 2)(x+1 + 2) = 0\). Это даёт два линейных уравнения: \(x — 1 = 0\) и \(x + 3 = 0\).

Решая каждое из них, получаем \(x = 1\) и \(x = -3\). Эти значения являются корнями исходного уравнения, так как при подстановке в \((x+1)^2 — 4\) выражение обращается в ноль. Таким образом, мы нашли все решения уравнения, используя свойство разности квадратов.

б) Уравнение \((x+2)^2 — 9 = 0\) также является разностью квадратов, где \(a = x+2\), а \(b = 3\). Применяя формулу, получаем разложение: \((x+2 — 3)(x+2 + 3) = 0\). Это даёт два уравнения: \(x — 1 = 0\) и \(x + 5 = 0\). Решая их, находим корни \(x = 1\) и \(x = -5\).

Эти корни удовлетворяют исходному уравнению, так как при их подстановке выражение \((x+2)^2 — 9\) становится равным нулю. Таким образом, метод разложения на множители позволяет быстро и эффективно найти решения уравнения.

в) Уравнение \(1 — (x-3)^2 = 0\) можно переписать как \((1 — x + 3)(1 + x — 3) = 0\), что соответствует разложению разности квадратов, где \(a = 1\), \(b = (x-3)\). При раскрытии скобок получаем произведение \((4 — x)(x — 2) = 0\). Это даёт два уравнения: \(4 — x = 0\) и \(x — 2 = 0\).

Решая их, находим корни \(x = 4\) и \(x = 2\). Эти значения при подстановке в исходное уравнение обращают его в ноль, что подтверждает правильность решения. Разложение на множители здесь помогает упростить исходное уравнение и найти его корни.

г) Уравнение \(25 — (10 — x)^2 = 0\) также является разностью квадратов, где \(a = 25\), \(b = (10 — x)^2\). Применяя формулу, получаем \((5 — 10 + x)(5 + 10 — x) = 0\), что упрощается до \((x — 5)(15 — x) = 0\). Это даёт два уравнения: \(x — 5 = 0\) и \(15 — x = 0\).

Решая их, получаем корни \(x = 5\) и \(x = 15\). Эти значения удовлетворяют исходному уравнению, так как при подстановке выражение становится равным нулю. Метод разложения на множители позволяет быстро найти решения уравнения, сводя его к простым линейным уравнениям.