ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 908 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение

а) \(3x(x-1) + (x^2 — 1) = 0\);

б) \(2(y-1) — (1-y)^2 = 0\);

в) \(3(x-2) + (x^2 — 4) = 0\);

г) \((y-3)^2 — 4(3 — y) = 0\).

а) \(3x(x-1)+(x^2-1)=0\)
Раскроем скобки: \(3x^2 — 3x + x^2 — 1=0\),
соберём: \(4x^2 — 3x — 1=0\).
Решаем квадратное уравнение: \(x = 1\), \(x = -\frac{1}{4}\).

б) \(2(y-1)-(1-y)^2=0\)
Перепишем: \(2(y-1)-(y-1)^2=0\),
вынесем общий множитель: \((y-1)(2-(y-1))=0\),
получаем: \((y-1)(3-y)=0\).
Ответ: \(y=1\), \(y=3\).

в) \(3(x-2)+(x^2-4)=0\)
Запишем как: \(3(x-2)+(x-2)(x+2)=0\),
вынесем общий множитель: \((x-2)(3+x+2)=0\),
то есть \((x-2)(x+5)=0\).
Ответ: \(x=2\), \(x=-5\).

г) \((y-3)^2 — 4(3-y)=0\)
Перепишем: \((y-3)^2 + 4(y-3)=0\),
вынесем общий множитель: \((y-3)((y-3)+4)=0\),
то есть \((y-3)(y+1)=0\).
Ответ: \(y=3\), \(y=-1\).

а) Уравнение \(3x(x-1)+(x^2-1)=0\) сначала раскрываем, умножая: \(3x^2 — 3x + x^2 — 1=0\). Здесь мы видим сумму двух выражений: первое — произведение \(3x\) на разность \(x-1\), второе — разность квадратов \(x^2-1\). После раскрытия скобок складываем подобные члены, получая квадратное уравнение \(4x^2 — 3x — 1=0\). Это классическое квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта.

Вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=4\), \(b=-3\), \(c=-1\). Получаем \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25\). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.

Для нахождения корней используем формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляя значения, получаем \(x = \frac{3 \pm 5}{8}\), откуда корни \(x = 1\) и \(x = -\frac{1}{4}\). Эти значения удовлетворяют исходному уравнению.

б) В уравнении \(2(y-1)-(1-y)^2=0\) сначала заметим, что \((1-y)^2 = (y-1)^2\) из-за свойства квадрата. Поэтому перепишем уравнение как \(2(y-1)-(y-1)^2=0\). Здесь удобно вынести общий множитель \((y-1)\), так как оба слагаемых его содержат.

Вынесем \((y-1)\) за скобки: \((y-1)(2-(y-1))=0\). Внутри скобок упростим выражение: \(2 — (y-1) = 3 — y\). Таким образом, уравнение принимает вид \((y-1)(3-y)=0\).

Решение этого произведения равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, \(y-1=0\) или \(3-y=0\). Отсюда корни \(y=1\) и \(y=3\).

в) Рассмотрим уравнение \(3(x-2)+(x^2-4)=0\). Заметим, что \(x^2-4\) — это разность квадратов, которую можно разложить как \((x-2)(x+2)\). Подставим это разложение: \(3(x-2) + (x-2)(x+2) = 0\).

Теперь видно, что в обоих слагаемых есть общий множитель \((x-2)\). Вынесем его за скобки: \((x-2)(3 + x + 2) = 0\). Упростим скобки: \(3 + x + 2 = x + 5\). Итоговое уравнение — \((x-2)(x+5) = 0\).

Произведение равно нулю, если \(x-2=0\) или \(x+5=0\). Следовательно, корни уравнения — \(x=2\) и \(x=-5\).

г) Уравнение \((y-3)^2 — 4(3 — y) = 0\) можно упростить, заметив, что \(3 — y = -(y-3)\). Перепишем уравнение как \((y-3)^2 + 4(y-3) = 0\).

Вынесем общий множитель \((y-3)\): \((y-3)((y-3) + 4) = 0\). Упростим вторую скобку: \((y-3) + 4 = y + 1\). Таким образом, уравнение принимает вид \((y-3)(y+1) = 0\).

Корни находятся из равенств \(y-3=0\) и \(y+1=0\), то есть \(y=3\) и \(y=-1\). Эти значения удовлетворяют исходному уравнению.