ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 906 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения подбором, а затем решите это уравнение, применив разложение на множители:

а) \(y^2 = y\);

б) \(a^3 = a\);

в) \(x^2 = 4x\);

г) \(t^2 = -5t\).

а) \(y^2 = y\)
Переносим в левую часть: \(y^2 — y = 0\).
Вынесем \(y\): \(y(y — 1) = 0\).
Решаем: \(y = 0\) или \(y = 1\).
Ответ: \(y = 0; \quad y = 1\).

б) \(a^3 = a\)
Переносим: \(a^3 — a = 0\).
Вынесем \(a\): \(a(a^2 — 1) = 0\).
Раскладываем: \(a(a — 1)(a + 1) = 0\).
Решаем: \(a = 0; \quad a = 1; \quad a = -1\).
Ответ: \(a = \pm 1; \quad a = 0\).

в) \(x^2 = 4x\)
Переносим: \(x^2 — 4x = 0\).
Вынесем \(x\): \(x(x — 4) = 0\).
Решаем: \(x = 0\) или \(x = 4\).
Ответ: \(x = 0; \quad x = 4\).

г) \(t^2 = -5t\)
Переносим: \(t^2 + 5t = 0\).
Вынесем \(t\): \(t(t + 5) = 0\).
Решаем: \(t = 0\) или \(t = -5\).
Ответ: \(t = -5; \quad t = 0\).

а) \(y^2 = y\)
Для решения уравнения сначала нужно привести его к стандартному виду, перенесём все слагаемые в одну сторону: \(y^2 — y = 0\). Это позволит нам применить метод разложения на множители, что значительно упростит поиск корней. Следующий шаг — вынесение общего множителя за скобки. В данном случае это \(y\), так как оно присутствует в обоих слагаемых: \(y(y — 1) = 0\).

Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю, а это возможно только если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \(y = 0\), либо \(y — 1 = 0\), что даёт второй корень \(y = 1\). Оба значения \(y = 0\) и \(y = 1\) удовлетворяют исходному уравнению, что можно проверить, подставив их обратно.

Таким образом, уравнение имеет два корня, и ответ записывается как \(y = 0; \quad y = 1\).

б) \(a^3 = a\)
Начинаем с переноса всех членов уравнения в левую часть: \(a^3 — a = 0\). Это необходимо для того, чтобы применить разложение на множители. Далее выделяем общий множитель \(a\), так как он содержится в обоих слагаемых: \(a(a^2 — 1) = 0\).

Вторая часть выражения \(a^2 — 1\) — это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). В нашем случае \(b = 1\), поэтому получаем: \(a(a — 1)(a + 1) = 0\). Теперь уравнение представлено в виде произведения трёх множителей, равного нулю.

Для решения приравниваем каждый множитель к нулю: \(a = 0\), \(a — 1 = 0\) (отсюда \(a = 1\)) и \(a + 1 = 0\) (отсюда \(a = -1\)). Все три значения удовлетворяют исходному уравнению. Итоговый ответ: \(a = \pm 1; \quad a = 0\).

в) \(x^2 = 4x\)
Для начала перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить равенство с нулём: \(x^2 — 4x = 0\). Это позволит применить разложение на множители. Далее выделяем общий множитель \(x\): \(x(x — 4) = 0\).

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, \(x = 0\) или \(x — 4 = 0\), откуда получаем второй корень \(x = 4\). Подставляя оба корня в исходное уравнение, убеждаемся, что они подходят.

В итоге уравнение имеет два корня, и ответ записывается как \(x = 0; \quad x = 4\).

г) \(t^2 = -5t\)
Для решения перенесём все члены уравнения в левую часть: \(t^2 + 5t = 0\). Это стандартный приём для уравнений, позволяющий применять разложение на множители. Далее выделяем общий множитель \(t\): \(t(t + 5) = 0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Значит, \(t = 0\) или \(t + 5 = 0\), откуда второй корень \(t = -5\). Проверка подстановкой показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \(t = -5; \quad t = 0\).