ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 905 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение

а) \(4x^2 — 4x + 1 = 0\);

б) \(x^2 — 10x + 25 = 0\);

в) \(5y^2 + 20y + 20 = 0\);

г) \(2y^2 — 12y + 18 = 0\).

Подсказка. а) Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена.

а) \(4x^2 — 4x + 1 = 0\)
Представляем как \((2x — 1)^2 = 0\), значит \(2x — 1 = 0\), откуда \(x = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(x = 0,5\).

б) \(x^2 — 10x + 25 = 0\)
Представляем как \((x — 5)^2 = 0\), значит \(x — 5 = 0\), откуда \(x = 5\).
Ответ: \(x = 5\).

в) \(5y^2 + 20y + 20 = 0\)
Вынесем 5: \(5(y^2 + 4y + 4) = 0\),
представляем как \(5(y + 2)^2 = 0\), значит \(y + 2 = 0\), откуда \(y = -2\).
Ответ: \(y = -2\).

г) \(2y^2 — 12y + 18 = 0\)
Вынесем 2: \(2(y^2 — 6y + 9) = 0\),
представляем как \(2(y — 3)^2 = 0\), значит \(y — 3 = 0\), откуда \(y = 3\).
Ответ: \(y = 3\).

а) Уравнение \(4x^2 — 4x + 1 = 0\) можно переписать в виде квадрата двучлена, так как коэффициенты подходят под формулу полного квадрата. Заметим, что \(4x^2 = (2x)^2\), а \(1 = 1^2\). Средний член \(-4x\) равен удвоенному произведению \(2x\) и \(1\) с отрицательным знаком, то есть \(-2 \cdot 2x \cdot 1\). Значит, уравнение можно представить как \((2x — 1)^2 = 0\). Чтобы найти \(x\), приравниваем выражение в скобках к нулю: \(2x — 1 = 0\). Решая это уравнение, получаем \(2x = 1\), откуда \(x = \frac{1}{2}\). Таким образом, уравнение имеет единственный корень \(x = 0,5\).

б) Рассмотрим уравнение \(x^2 — 10x + 25 = 0\). Аналогично, заметим, что \(25 = 5^2\) и \(x^2 = (x)^2\). Средний член \(-10x\) равен удвоенному произведению \(x\) и \(5\) с отрицательным знаком: \(-2 \cdot x \cdot 5\). Следовательно, уравнение можно записать как квадрат двучлена \((x — 5)^2 = 0\). Решая \(x — 5 = 0\), находим \(x = 5\). Это единственный корень уравнения.

в) Уравнение \(5y^2 + 20y + 20 = 0\) можно упростить, вынеся множитель 5 за скобки: \(5(y^2 + 4y + 4) = 0\). Теперь рассмотрим выражение в скобках. Заметим, что \(4 = 2^2\), а \(y^2 = (y)^2\). Средний член \(4y\) равен удвоенному произведению \(y\) и \(2\): \(2 \cdot y \cdot 2\). Значит, выражение в скобках — это квадрат двучлена \((y + 2)^2\). Следовательно, уравнение принимает вид \(5(y + 2)^2 = 0\). Чтобы уравнение было равно нулю, должно выполняться \(y + 2 = 0\). Решая, получаем \(y = -2\). Это единственное решение.

г) В уравнении \(2y^2 — 12y + 18 = 0\) вынесем множитель 2 за скобки: \(2(y^2 — 6y + 9) = 0\). Теперь рассмотрим выражение в скобках. Число 9 — это \(3^2\), а \(y^2 = (y)^2\). Средний член \(-6y\) равен удвоенному произведению \(y\) и \(3\) с отрицательным знаком: \(-2 \cdot y \cdot 3\). Значит, выражение в скобках — квадрат двучлена \((y — 3)^2\). Уравнение становится \(2(y — 3)^2 = 0\). Для равенства нулю необходимо \(y — 3 = 0\), откуда \(y = 3\). Это единственный корень уравнения.