ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 904 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение
а) \(x^3 — x = 0\);
б) \(4y — y^3 = 0\);
в) \(5z^3 — 5z = 0\);
г) \(z — 9z^3 = 0\).

а) \(x^3 — x = 0\)
Вынесем \(x\): \(x(x^2 — 1) = 0\).
Разложим: \(x(x — 1)(x + 1) = 0\).
Корни: \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\).
Ответ: \(x = \pm 1; \quad x = 0\).

б) \(4y — y^3 = 0\)
Вынесем \(y\): \(y(4 — y^2) = 0\).
Разложим: \(y(2 — y)(2 + y) = 0\).
Корни: \(y = 0\), \(y = 2\), \(y = -2\).
Ответ: \(y = \pm 2; \quad y = 0\).

в) \(5z^3 — 5z = 0\)
Вынесем \(5z\): \(5z(z^2 — 1) = 0\).
Разложим: \(5z(z — 1)(z + 1) = 0\).
Корни: \(z = 0\), \(z = 1\), \(z = -1\).
Ответ: \(z = \pm 1; \quad z = 0\).

г) \(z — 9z^3 = 0\)
Вынесем \(z\): \(z(1 — 9z^2) = 0\).
Разложим: \(z(1 — 3z)(1 + 3z) = 0\).
Корни: \(z = 0\), \(z = \frac{1}{3}\), \(z = -\frac{1}{3}\).
Ответ: \(z = \pm \frac{1}{3}; \quad z = 0\).

а) Рассмотрим уравнение \(x^3 — x = 0\). Чтобы найти корни, сначала вынесем общий множитель \(x\) за скобки, получая выражение \(x(x^2 — 1) = 0\). Это позволяет нам разделить исходное уравнение на два множителя, произведение которых равно нулю. По свойству произведения, если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Далее заметим, что \(x^2 — 1\) можно разложить как разность квадратов: \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\). Тогда уравнение принимает вид \(x(x — 1)(x + 1) = 0\). Теперь у нас три простых уравнения: \(x = 0\), \(x — 1 = 0\), и \(x + 1 = 0\).

Решая каждое из них, получаем корни: \(x = 0\), \(x = 1\), и \(x = -1\). Таким образом, полный набор решений уравнения — это \(x = 0\) и \(x = \pm 1\).

б) Для уравнения \(4y — y^3 = 0\) также применим метод вынесения общего множителя. Вынесем \(y\) за скобки, что даст нам выражение \(y(4 — y^2) = 0\). Согласно правилу нуля произведения, либо \(y = 0\), либо второй множитель равен нулю: \(4 — y^2 = 0\).

Решая уравнение \(4 — y^2 = 0\), преобразуем его к виду \(y^2 = 4\). Извлекая квадратный корень, находим два значения: \(y = 2\) и \(y = -2\). Таким образом, уравнение имеет три корня: \(y = 0\), \(y = 2\), и \(y = -2\).

Ответ можно записать как \(y = 0\) и \(y = \pm 2\), что полностью описывает множество решений данного уравнения.

в) Рассмотрим уравнение \(5z^3 — 5z = 0\). Вынесем общий множитель \(5z\) за скобки, получая \(5z(z^2 — 1) = 0\). Поскольку множитель 5 не влияет на нулевое значение произведения, сосредоточимся на \(z(z^2 — 1) = 0\).

Далее выражение \(z^2 — 1\) раскладываем как разность квадратов: \(z^2 — 1 = (z — 1)(z + 1)\). Таким образом, уравнение принимает вид \(z(z — 1)(z + 1) = 0\).

Отсюда корни находятся из уравнений \(z = 0\), \(z — 1 = 0\), и \(z + 1 = 0\), что даёт \(z = 0\), \(z = 1\), и \(z = -1\). Итоговый ответ: \(z = 0\) и \(z = \pm 1\).

г) Для уравнения \(z — 9z^3 = 0\) также применим факторизацию. Вынесем \(z\) за скобки, получая \(z(1 — 9z^2) = 0\). По правилу произведения нуля, либо \(z = 0\), либо \(1 — 9z^2 = 0\).

Решим уравнение \(1 — 9z^2 = 0\), преобразовав его к \(9z^2 = 1\), или \(z^2 = \frac{1}{9}\). Извлекая корень, получаем два решения: \(z = \frac{1}{3}\) и \(z = -\frac{1}{3}\).

Таким образом, уравнение имеет три корня: \(z = 0\), \(z = \frac{1}{3}\), и \(z = -\frac{1}{3}\). Ответ: \(z = 0\) и \(z = \pm \frac{1}{3}\).