ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 903 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение

а) \(x^2 — 4 = 0\);

б) \(4x^2 — 25 = 0\);

в) \(1 — z^2 = 0\);

г) \(3z^2 — 75 = 0\).

а) \(x^2 — 4 = 0\)
Разложим на множители: \((x — 2)(x + 2) = 0\).
Решаем: \(x — 2 = 0\), значит \(x = 2\); \(x + 2 = 0\), значит \(x = -2\).
Ответ: \(x = \pm 2\).

б) \(4x^2 — 25 = 0\)
Разложим: \((2x — 5)(2x + 5) = 0\).
Решаем: \(2x — 5 = 0\), тогда \(x = \frac{5}{2}\); \(2x + 5 = 0\), тогда \(x = -\frac{5}{2}\).
Ответ: \(x = \pm 2,5\).

в) \(1 — z^2 = 0\)
Разложим: \((1 — z)(1 + z) = 0\).
Решаем: \(1 — z = 0\), значит \(z = 1\); \(1 + z = 0\), значит \(z = -1\).
Ответ: \(z = \pm 1\).

г) \(3z^2 — 75 = 0\)
Вынесем 3: \(3(z^2 — 25) = 0\).
Решаем \(z^2 — 25 = 0\), разложим: \((z — 5)(z + 5) = 0\).
Решаем: \(z — 5 = 0\), значит \(z = 5\); \(z + 5 = 0\), значит \(z = -5\).
Ответ: \(z = \pm 5\).

а) \(x^2 — 4 = 0\)
Данное уравнение представляет собой разность квадратов, так как \(4 = 2^2\). Формула разности квадратов гласит, что \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). В нашем случае \(a = x\), а \(b = 2\), следовательно, уравнение можно разложить на множители: \((x — 2)(x + 2) = 0\). Это означает, что произведение двух выражений равно нулю, что возможно тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.
Рассмотрим каждое уравнение отдельно: \(x — 2 = 0\) даёт решение \(x = 2\), а \(x + 2 = 0\) даёт решение \(x = -2\). Таким образом, уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами.
Ответ: \(x = \pm 2\).

б) \(4x^2 — 25 = 0\)
Здесь также видна разность квадратов, так как \(4x^2 = (2x)^2\), а \(25 = 5^2\). Используем формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 2x\), \(b = 5\). Тогда уравнение раскладывается в произведение: \((2x — 5)(2x + 5) = 0\).
Приравниваем каждый множитель к нулю: \(2x — 5 = 0\) даёт \(2x = 5\), следовательно, \(x = \frac{5}{2}\). Второе уравнение \(2x + 5 = 0\) даёт \(2x = -5\), то есть \(x = -\frac{5}{2}\).
Ответ: \(x = \pm 2,5\).

в) \(1 — z^2 = 0\)
Уравнение также является разностью квадратов, так как \(1 = 1^2\), а \(z^2 = (z)^2\). Применяем формулу: \(1 — z^2 = (1 — z)(1 + z) = 0\). Чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один множитель был равен нулю.
Рассматриваем по отдельности: \(1 — z = 0\) даёт \(z = 1\), а \(1 + z = 0\) даёт \(z = -1\). Следовательно, уравнение имеет два корня, которые противоположны друг другу.
Ответ: \(z = \pm 1\).

г) \(3z^2 — 75 = 0\)
Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: \(3(z^2 — 25) = 0\). Поскольку произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Так как \(3 \neq 0\), то решаем уравнение внутри скобок: \(z^2 — 25 = 0\). Это снова разность квадратов, так как \(25 = 5^2\).
Применяем формулу: \(z^2 — 25 = (z — 5)(z + 5) = 0\). Приравниваем каждый множитель к нулю: \(z — 5 = 0\) даёт \(z = 5\), а \(z + 5 = 0\) даёт \(z = -5\).
Ответ: \(z = \pm 5\).