ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 899 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Исследуем
1) Докажите, что:
а) \(\frac{x^{16} — y^{16}}{x — y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)\);
б) \(\frac{x^{64} — y^{64}}{x — y} = (x + y)(x^2 + y^2) \cdots (x^{32} + y^{32})\).
2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь \(\frac{x^8 — y^8}{x — y}\)? \(\frac{x^{10} — y^{10}}{xy}\)?

3) Сократите дробь \(\frac{x^{2^{10}} — y^{2^{10}}}{x — y}\).

1) а) \( \frac{x^{16} — y^{16}}{x — y} = \frac{(x^8 — y^8)(x^8 + y^8)}{x — y} = \frac{(x^4 — y^4)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)}{x — y} =\)
\(= \frac{(x^2 — y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)}{x — y} =\)
\(= \frac{(x — y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)}{x — y} =\)
\(= (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)\)

б) \( \frac{x^{64} — y^{64}}{x — y} = \frac{(x^{32} — y^{32})(x^{32} + y^{32})}{x — y} =\)
\(= \frac{(x^{16} — y^{16})(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32})}{x — y} = \frac{(x^8 — y^8)(x^8 + y^8)(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32})}{x — y} =\)
\(= \frac{(x^4 — y^4)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32})}{x — y} =\)
\(= \frac{(x^2 — y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32})}{x — y} =\)
\(= \frac{(x — y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32})}{x — y} =\)
\(= (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32})\)

2) В степенях \(x\) и \(y\) должна быть степень двойки.

\( \frac{x^8 — y^8}{x — y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8) \) — можно сократить.

\( \frac{x^{10} — y^{10}}{x — y} \) — нельзя сократить, так как 10 не степень двойки.

3) \( \frac{x^{2^{10}} — y^{2^{10}}}{x — y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \cdots (x^{2^9} + y^{2^9}) \)

1) а) Рассмотрим выражение \( \frac{x^{16} — y^{16}}{x — y} \). Для его упрощения используем разложение разности степеней через разность квадратов. Сначала представим \( x^{16} — y^{16} \) как произведение \( (x^8 — y^8)(x^8 + y^8) \). Далее каждое из этих выражений можно разложить аналогично: \( x^8 — y^8 = (x^4 — y^4)(x^4 + y^4) \), а \( x^4 — y^4 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2) \), и наконец \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \). Подставляя эти разложения обратно, получаем цепочку множителей, содержащих \( (x — y) \), который можно сократить с знаменателем.

После сокращения \( (x — y) \) в числителе и знаменателе остаётся произведение \( (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8) \), что и доказывает равенство. Этот способ основан на последовательном применении формулы разности квадратов, которая позволяет разложить степень в степени двойки на произведение выражений с меньшими степенями.

б) Аналогично для \( \frac{x^{64} — y^{64}}{x — y} \) применяем ту же идею разложения разности степеней. Начинаем с \( x^{64} — y^{64} = (x^{32} — y^{32})(x^{32} + y^{32}) \). Далее \( x^{32} — y^{32} \) раскладываем дальше, используя те же правила: \( x^{16} — y^{16} \), \( x^8 — y^8 \), \( x^4 — y^4 \), \( x^2 — y^2 \), пока не дойдём до \( (x — y)(x + y) \). В итоге в числителе будет произведение множителей, включающее \( (x — y) \), который сокращается с знаменателем.

В итоге получаем произведение \( (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)(x^{16} + y^{16})(x^{32} + y^{32}) \), что и требовалось доказать. Этот процесс показывает, что разложение возможно только для степеней, являющихся степенями двойки, и именно для таких случаев дробь сокращается.

2) Наблюдение состоит в том, что для сокращения дроби вида \( \frac{x^n — y^n}{x — y} \) число \( n \) должно быть степенью двойки. Если \( n \) — степень двойки, то разность степеней можно разложить на произведение выражений вида \( (x^{2^k} + y^{2^k}) \), и знаменатель \( (x — y) \) сократится с соответствующим множителем в числителе. Например, для \( \frac{x^8 — y^8}{x — y} \) такое разложение возможно, и дробь сокращается.

Если же число \( n \) не является степенью двойки, как в случае \( \frac{x^{10} — y^{10}}{x — y} \), то разложение на множители вида \( (x^{2^k} + y^{2^k}) \) невозможно, и знаменатель \( (x — y) \) не сократится. Таким образом, дробь не сокращается, и её нельзя упростить аналогично предыдущему случаю.

3) Для дроби \( \frac{x^{2^{10}} — y^{2^{10}}}{x — y} \) применяем ту же логику факторизации, что и ранее. Степень \( 2^{10} \) равна 1024, и она является степенью двойки, поэтому разложение возможно. Используем последовательное разложение разности степеней:

\( x^{1024} — y^{1024} = (x^{512} — y^{512})(x^{512} + y^{512}) \),

далее

\( x^{512} — y^{512} = (x^{256} — y^{256})(x^{256} + y^{256}) \),

и так далее, пока не дойдём до \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \).

В итоге числитель разлагается на произведение множителей вида \( (x^{2^k} + y^{2^k}) \) для \( k = 0, 1, \ldots, 9 \), а знаменатель \( (x — y) \) сокращается с соответствующим множителем. Таким образом, сокращённая форма будет

\( (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) \cdots (x^{512} + y^{512}) \), что и является искомым результатом.