ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 898 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

Пусть дано натуральное число \( n \). Тогда \( n^3 — n = n(n^2 — 1) = n(n — 1)(n + 1) \).

Так как это произведение трёх последовательных натуральных чисел, среди них есть число, делящееся на 2, и число, делящееся на 3.

Следовательно, произведение делится на \( 6 \).

Пусть дано натуральное число \( n \). Рассмотрим выражение \( n^3 — n \). Его можно преобразовать, вынеся общий множитель \( n \): \( n^3 — n = n(n^2 — 1) \). Заметим, что \( n^2 — 1 \) — это разность квадратов, которую можно разложить на множители: \( n^2 — 1 = (n — 1)(n + 1) \). Значит, исходное выражение равно произведению трёх последовательных чисел: \( n(n — 1)(n + 1) \).

Это произведение трёх последовательных натуральных чисел, и среди любых трёх последовательных чисел обязательно найдется число, делящееся на 2, так как чётные числа чередуются с нечётными. Кроме того, среди трёх последовательных чисел обязательно найдется число, делящееся на 3, потому что при делении на 3 остатки принимают значения 0, 1 и 2 по циклу, и в любом наборе из трёх последовательных чисел обязательно будет число с остатком 0.

Таким образом, произведение \( n(n — 1)(n + 1) \) содержит множители, делящиеся на 2 и на 3, а значит, само произведение делится на произведение этих чисел, то есть на 6. Следовательно, для любого натурального числа \( n \) разность \( n^3 — n \) делится на 6.