ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 897 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите выражение на множители двумя способами:

1) применив формулу разности квадратов;

2) раскрыв скобки и затем применив группировку:

а) \((1 + ab)^2 — (a + b)^2\);

б) \((a + 2x)^2 — (2 + ax)^2\).

а) 1) \((1 + ab)^2 — (a + b)^2 = ((1 + ab) — (a + b))((1 + ab) + (a + b)) =\)
\(= (1 + ab — a — b)(1 + ab + a + b) =\)
\(= ((1 — b) — a(1 — b))((1 + b) + a(1 + b)) =\)
\(= (1 — b)(1 — a)(1 + b)(1 + a)\).

2) \((1 + ab)^2 — (a + b)^2 = 1 + 2ab + a^2 b^2 — a^2 — 2ab — b^2 =\)
\(= a^2 b^2 — a^2 + 1 — b^2 = a^2 (b^2 — 1) — (b^2 — 1) =\)
\(= (b^2 — 1)(a^2 — 1) = (b — 1)(b + 1)(a — 1)(a + 1) =\)
\(= (1 — b)(1 — a)(1 + b)(1 + a)\).

б)1) \((a + 2x)^2 — (2 + ax)^2 =\)
\(= ((a + 2x) — (2 + ax))((a + 2x) + (2 + ax)) =\)
\(= (a + 2x — 2 — ax)(a + 2x + 2 + ax) =\)
\(= (a(1 — x) — 2(1 — x))(a(1 + x) + 2(1 + x)) =\)
\(= (1 — x)(a — 2)(1 + x)(a + 2)\).

2) \((a + 2x)^2 — (2 + ax)^2 = a^2 + 4ax + 4x^2 — 4 — 4ax — a^2 x^2 =\)
\(= a^2 — 4 + 4x^2 — a^2 x^2 = (a^2 — 4) — x^2 (a^2 — 4) =\)
\(= (a^2 — 4)(1 — x^2) = (a — 2)(a + 2)(1 — x)(1 + x)\).

а) 1) Рассмотрим выражение \((1 + ab)^2 — (a + b)^2\). По формуле разности квадратов оно равно произведению разности и суммы этих выражений: \(((1 + ab) — (a + b))((1 + ab) + (a + b))\). Вычтем в первой скобке: \(1 + ab — a — b\), а во второй сложим: \(1 + ab + a + b\). Далее сгруппируем члены в первой скобке: \(1 — b + a(b — 1)\). Заметим, что \(a(b — 1) = -a(1 — b)\), тогда первая скобка равна \((1 — b)(1 — a)\). Аналогично во второй скобке сгруппируем: \(1 + b + a(1 + b) = (1 + b)(1 + a)\). Таким образом, исходное выражение раскладывается в произведение \((1 — b)(1 — a)(1 + b)(1 + a)\), что и является разложением на множители.

2) Для второго способа раскроем скобки в выражении \((1 + ab)^2 — (a + b)^2\). Квадрат первого выражения равен \(1 + 2ab + a^2 b^2\), квадрата второго — \(a^2 + 2ab + b^2\). Вычтем второе из первого: \(1 + 2ab + a^2 b^2 — a^2 — 2ab — b^2\). Слагаемые \(2ab\) сокращаются, остаётся \(1 + a^2 b^2 — a^2 — b^2\). Перегруппируем: \(a^2 b^2 — b^2 + 1 — a^2 = b^2(a^2 — 1) — (a^2 — 1)\). Вынесем общий множитель \((a^2 — 1)\): \((a^2 — 1)(b^2 — 1)\). Разложим каждую разность квадратов: \(a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)\), \(b^2 — 1 = (b — 1)(b + 1)\). Итоговое разложение совпадает с предыдущим: \((1 — a)(1 + a)(1 — b)(1 + b)\).

б) 1) Рассмотрим выражение \((a + 2x)^2 — (2 + ax)^2\) и применим формулу разности квадратов: \(((a + 2x) — (2 + ax))((a + 2x) + (2 + ax))\). Вычтем в первой скобке: \(a + 2x — 2 — ax\), сгруппируем: \(a(1 — x) + 2(x — 1)\). Поскольку \(x — 1 = -(1 — x)\), получаем: \((1 — x)(a — 2)\). Во второй скобке сложим: \(a + 2x + 2 + ax\), сгруппируем: \(a(1 + x) + 2(1 + x) = (1 + x)(a + 2)\). Значит, исходное выражение раскладывается в произведение \((1 — x)(a — 2)(1 + x)(a + 2)\).

2) Раскроем скобки в выражении \((a + 2x)^2 — (2 + ax)^2\). Квадрат первого выражения равен \(a^2 + 4ax + 4x^2\), квадрата второго — \(4 + 4ax + a^2 x^2\). Вычтем второе из первого: \(a^2 + 4ax + 4x^2 — 4 — 4ax — a^2 x^2\). Слагаемые \(4ax\) сокращаются, остаётся \(a^2 — 4 + 4x^2 — a^2 x^2\). Перегруппируем: \((a^2 — 4) + x^2(4 — a^2) = (a^2 — 4) — x^2(a^2 — 4)\). Вынесем общий множитель: \((a^2 — 4)(1 — x^2)\). Разложим каждую разность квадратов: \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\), \(1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)\). Итоговое разложение совпадает с предыдущим: \((a — 2)(a + 2)(1 — x)(1 + x)\).