ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 896 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Трёхчлен \(x^2 — 6x + 8\) можно разложить на множители, выделив квадрат двучлена:

\(x^2 — 6x + 8 = x^2 — 6x + 8 + 1 — 1 = (x^2 — 6x + 9) — 1 = (x — 3)^2 — 1 =\)
\(= (x — 3 — 1)(x — 3 + 1) = (x — 4)(x — 2)\).

Разложите на множители трёхчлен:

а) \(a^2 + 4a — 5\);

б) \(x^2 — 2x — 24\);

в) \(a^2 + 8a + 15\).

а) \(a^2 + 4a — 5 = a^2 + 4a + 4 — 4 — 5 = (a + 2)^2 — 9 =\)
\(= (a + 2 — 3)(a + 2 + 3) = (a — 1)(a + 5)\).

б) \(x^2 — 2x — 24 = x^2 — 2x + 1 — 1 — 24 = (x — 1)^2 — 25 =\)
\(= (x — 1 — 5)(x — 1 + 5) = (x — 6)(x + 4)\).

в) \(a^2 + 8a + 15 = a^2 + 8a + 16 — 16 + 15 = (a + 4)^2 — 1 =\)
\(= (a + 4 — 1)(a + 4 + 1) = (a + 3)(a + 5)\).

а) Рассмотрим многочлен \(a^2 + 4a — 5\). Чтобы разложить его на множители, первым шагом выделим полный квадрат. Для этого к выражению добавим и вычтем число 4, так как \(4 = 2^2\), где 2 — половина коэффициента при \(a\). Получаем: \(a^2 + 4a + 4 — 4 — 5\). Здесь \(a^2 + 4a + 4\) — это квадрат двучлена \((a + 2)^2\), а оставшаяся часть \(-4 — 5 = -9\) — свободный член.

Далее представим выражение в виде разности квадратов: \((a + 2)^2 — 9\). По формуле разности квадратов \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), где \(x = a + 2\), а \(y = 3\), раскроем скобки: \((a + 2 — 3)(a + 2 + 3) = (a — 1)(a + 5)\). Таким образом, исходный многочлен разложен на произведение двух линейных множителей.

б) Для многочлена \(x^2 — 2x — 24\) применим тот же метод. Сначала выделим полный квадрат. Добавим и вычтем число 1, так как половина коэффициента при \(x\) равна \(-1\), и \(1 = (-1)^2\). Получим: \(x^2 — 2x + 1 — 1 — 24\). Здесь \(x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2\), а оставшаяся часть \(-1 — 24 = -25\).

Теперь выразим многочлен как разность квадратов: \((x — 1)^2 — 25\). По формуле разности квадратов раскроем скобки: \((x — 1 — 5)(x — 1 + 5) = (x — 6)(x + 4)\). Это и есть разложение на множители исходного выражения.

в) Рассмотрим многочлен \(a^2 + 8a + 15\). Аналогично выделим полный квадрат, добавив и вычтя число 16, так как половина коэффициента при \(a\) равна 4, и \(16 = 4^2\). Запишем: \(a^2 + 8a + 16 — 16 + 15\). Здесь \(a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\), а оставшаяся часть \(-16 + 15 = -1\).

Запишем как разность квадратов: \((a + 4)^2 — 1\). Раскроем по формуле: \((a + 4 — 1)(a + 4 + 1) = (a + 3)(a + 5)\). Получили разложение на линейные множители исходного многочлена.