ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 895 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \((a — x)(x^2 — y^2) — (x — y)(a^2 — x^2)\);

б) \((a — x)(x^3 — y^3) — (x — y)(a^3 — x^3)\).

а) Используем формулы разности квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), \(a^2 — x^2 = (a — x)(a + x)\). Подставляем и выносим общий множитель:
\((a — x)(x — y)(x + y) — (x — y)(a — x)(a + x) =\)
\(= (a — x)(x — y)((x + y) — (a + x)) = (a — x)(x — y)(y — a)\).

б) Используем формулы разности кубов: \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), \(a^3 — x^3 = (a — x)(a^2 + ax + x^2)\). Подставляем и выносим общий множитель:
\((a — x)(x — y)(x^2 + xy + y^2) — (x — y)(a — x)(a^2 + ax + x^2) =\)
\(= (a — x)(x — y)((x^2 + xy + y^2) — (a^2 + ax + x^2))\).

Упрощаем скобки:
\((x^2 + xy + y^2) — (a^2 + ax + x^2) = y^2 + xy — a^2 — ax =\)
\(= (y^2 — a^2) + x(y — a)\).

Используем разность квадратов:
\(y^2 — a^2 = (y — a)(y + a)\). Значит:
\((y — a)(y + a) + x(y — a) = (y — a)(y + a + x)\).

Итог:
\((a — x)(x — y)(y — a)(y + a + x)\).

а) Рассмотрим выражение \((a — x)(x^2 — y^2) — (x — y)(a^2 — x^2)\). Первым шагом воспользуемся формулой разности квадратов, которая является базовой алгебраической формулой и гласит, что для любых чисел или выражений \(m\) и \(n\) справедливо равенство \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\). В нашем случае для первого множителя \(x^2 — y^2\) применяем эту формулу и получаем разложение на множители \((x — y)(x + y)\). Аналогично для второго множителя \(a^2 — x^2\) применяем ту же формулу и получаем \((a — x)(a + x)\). Это позволяет переписать исходное выражение как \((a — x)(x — y)(x + y) — (x — y)(a — x)(a + x)\).

Дальше заметим, что в обеих частях выражения присутствует общий множитель — произведение \((a — x)(x — y)\). Это означает, что мы можем вынести этот множитель за скобки, чтобы упростить выражение. Вынесение общего множителя даёт нам \((a — x)(x — y)((x + y) — (a + x))\). Теперь внутри скобок необходимо выполнить вычитание: \(x + y — a — x\). При этом \(x\) и \(-x\) взаимно уничтожаются, и остаётся \(y — a\). Таким образом, выражение упрощается до \((a — x)(x — y)(y — a)\).

Стоит отметить, что порядок множителей в произведении не влияет на результат, так как умножение коммутативно и ассоциативно. Поэтому выражение можно записать в любом порядке, например, \((a — x)(x — y)(y — a)\) или \((y — a)(a — x)(x — y)\), и оно будет эквивалентным. Это разложение является конечным и показывает, что исходное выражение можно представить в виде произведения трех линейных множителей.

б) Теперь рассмотрим выражение \((a — x)(x^3 — y^3) — (x — y)(a^3 — x^3)\). Здесь нам поможет формула разности кубов, которая утверждает, что для любых выражений \(m\) и \(n\) справедливо равенство \(m^3 — n^3 = (m — n)(m^2 + mn + n^2)\). Для первого слагаемого \(x^3 — y^3\) применяем эту формулу и получаем разложение \((x — y)(x^2 + xy + y^2)\). Аналогично для второго слагаемого \(a^3 — x^3\) получаем \((a — x)(a^2 + ax + x^2)\).

Подставляя эти разложения в исходное выражение, получаем \((a — x)(x — y)(x^2 + xy + y^2) — (x — y)(a — x)(a^2 + ax + x^2)\). Обратите внимание, что в обеих частях выражения есть общий множитель — произведение \((a — x)(x — y)\). Вынесем этот общий множитель за скобки: \((a — x)(x — y)((x^2 + xy + y^2) — (a^2 + ax + x^2))\).

Далее упростим выражение в скобках. Выполним вычитание: \(x^2 + xy + y^2 — a^2 — ax — x^2\). Здесь \(x^2\) и \(-x^2\) взаимно уничтожаются, поэтому остаётся \(y^2 + xy — a^2 — ax\). Чтобы упростить это выражение, сгруппируем члены так: \((y^2 — a^2) + x(y — a)\). Теперь воспользуемся формулой разности квадратов для первого слагаемого: \(y^2 — a^2 = (y — a)(y + a)\).

Подставляем это обратно и получаем \((y — a)(y + a) + x(y — a)\). Здесь можно вынести общий множитель \((y — a)\) за скобки: \((y — a)(y + a + x)\). Таким образом, итоговое выражение принимает вид \((a — x)(x — y)(y — a)(y + a + x)\).

Это разложение показывает, что исходное выражение можно представить в виде произведения четырёх множителей, что значительно упрощает работу с ним. Такое разложение удобно для дальнейших преобразований, подстановок и решения уравнений, где встречается данное выражение.