ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 894 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(x^2(x — 3) + 10x(x — 3) + 25(x — 3)\);

б) \(4c^2(c + 2) + 9(c + 2) — 12c(c + 2)\);

в) \(a^2 — 25 — 2a(a^2 — 25) + a^2(a^2 — 25)\);

г) \(6x(y^2 — 1) + 9x^2(y^2 — 1) — 1 + y^2\).

а) Вынесем общий множитель \( (x — 3) \):
\( x^2(x — 3) + 10x(x — 3) + 25(x — 3) = (x — 3)(x^2 + 10x + 25) \).
Распишем квадрат: \( x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \).
Ответ: \( (x — 3)(x + 5)^2 \).

б) Вынесем общий множитель \( (c + 2) \):
\( 4c^2(c + 2) + 9(c + 2) — 12c(c + 2) = (c + 2)(4c^2 — 12c + 9) \).
Распишем квадрат: \( 4c^2 — 12c + 9 = (2c — 3)^2 \).
Ответ: \( (c + 2)(2c — 3)^2 \).

в) Вынесем общий множитель \( (a^2 — 25) \):
\( a^2 — 25 — 2a(a^2 — 25) + a^2(a^2 — 25) = (a^2 — 25)(1 — 2a + a^2) \).
Распишем: \( 1 — 2a + a^2 = (1 — a)^2 \),
\( a^2 — 25 = (a — 5)(a + 5) \).
Ответ: \( (a — 5)(a + 5)(1 — a)^2 \).

г) Группируем:
\( 6x(y^2 — 1) + 9x^2(y^2 — 1) — 1 + y^2 = (y^2 — 1)(6x + 9x^2 + 1) \).
Распишем: \( y^2 — 1 = (y — 1)(y + 1) \),
\( 6x + 9x^2 + 1 = (3x + 1)^2 \).
Ответ: \( (y — 1)(y + 1)(3x + 1)^2 \).

а) Рассмотрим выражение \( x^2(x — 3) + 10x(x — 3) + 25(x — 3) \). Первое, что бросается в глаза — это наличие общего множителя \( (x — 3) \) во всех трех слагаемых. Чтобы упростить выражение, следует вынести этот множитель за скобки. Для этого мы группируем все слагаемые так, чтобы выделить общий множитель:
\( x^2(x — 3) + 10x(x — 3) + 25(x — 3) = (x — 3)(x^2 + 10x + 25) \).

Теперь обратим внимание на квадратный трехчлен \( x^2 + 10x + 25 \), который находится внутри скобок. Чтобы разложить его на множители, проверим, можно ли представить его в виде квадрата бинома. Для этого вспомним формулу полного квадрата: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). В нашем случае \( a = x \), \( b = 5 \), так как \( x^2 = a^2 \), \( 10x = 2ab = 2 \cdot x \cdot 5 \), и \( 25 = b^2 = 5^2 \). Следовательно, \( x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \).

Таким образом, исходное выражение можно записать как произведение двух множителей: \( (x — 3)(x + 5)^2 \). Это и есть разложение на множители данного выражения.

б) Рассмотрим выражение \( 4c^2(c + 2) + 9(c + 2) — 12c(c + 2) \). Здесь также можно заметить общий множитель \( (c + 2) \), который присутствует во всех слагаемых. Вынесем его за скобки:
\( 4c^2(c + 2) + 9(c + 2) — 12c(c + 2) = (c + 2)(4c^2 + 9 — 12c) \).

Обратим внимание на квадратный трехчлен внутри скобок: \( 4c^2 — 12c + 9 \). Для его разложения проверим, является ли он квадратом бинома. Формула полного квадрата: \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \). В данном случае \( a = 2c \), \( b = 3 \), так как \( 4c^2 = (2c)^2 \), \( -12c = -2 \cdot 2c \cdot 3 \), и \( 9 = 3^2 \). Следовательно, \( 4c^2 — 12c + 9 = (2c — 3)^2 \).

Итоговое разложение выражения: \( (c + 2)(2c — 3)^2 \).

в) Рассмотрим выражение \( a^2 — 25 — 2a(a^2 — 25) + a^2(a^2 — 25) \). Здесь можно заметить, что множитель \( (a^2 — 25) \) встречается в нескольких слагаемых. Для удобства вынесем этот общий множитель за скобки:
\( a^2 — 25 — 2a(a^2 — 25) + a^2(a^2 — 25) = (a^2 — 25)(1 — 2a + a^2) \).

Теперь рассмотрим каждый из множителей отдельно. Первый множитель \( a^2 — 25 \) — это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). В нашем случае \( b = 5 \), значит:
\( a^2 — 25 = (a — 5)(a + 5) \).

Второй множитель — квадратный трехчлен \( 1 — 2a + a^2 \). Его можно представить как квадрат бинома, так как он соответствует формуле полного квадрата: \( (1 — a)^2 = 1 — 2a + a^2 \).

Таким образом, итоговое разложение выражения: \( (a — 5)(a + 5)(1 — a)^2 \).

г) Рассмотрим выражение \( 6x(y^2 — 1) + 9x^2(y^2 — 1) — 1 + y^2 \). Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие общий множитель \( (y^2 — 1) \):
\( 6x(y^2 — 1) + 9x^2(y^2 — 1) = (y^2 — 1)(6x + 9x^2) \).

Оставшиеся слагаемые \( -1 + y^2 \) можно переписать как \( y^2 — 1 \), что совпадает с уже выделенным множителем. Тогда исходное выражение можно представить как:
\( (y^2 — 1)(6x + 9x^2 + 1) \).

Далее разложим первый множитель \( y^2 — 1 \), который является разностью квадратов:
\( y^2 — 1 = (y — 1)(y + 1) \).

Второй множитель \( 6x + 9x^2 + 1 \) упорядочим по степеням:
\( 9x^2 + 6x + 1 \).

Проверим, является ли этот трехчлен квадратом бинома. Формула полного квадрата: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). В данном случае \( a = 3x \), \( b = 1 \), так как \( 9x^2 = (3x)^2 \), \( 6x = 2 \cdot 3x \cdot 1 \), и \( 1 = 1^2 \). Следовательно,
\( 9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2 \).

Итоговое разложение исходного выражения:
\( (y — 1)(y + 1)(3x + 1)^2 \).