ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 893 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(ax + ay — x^2 — 2xy — y^2\);

б) \(a^2 — 2ab + b^2 — a + b\);

в) \(a^2 — b^2 — c^2 + 2bc\);

г) \(9a^4 + 6a^2c + c^2 — 9\);

д) \(ma^2 — m^3 — 2m^2 — m\);

е) \(4x^5 + 4x^3y + xy^2 — 4x\).

а) Вынесем \(x + y\) за скобки:
\(ax + ay — x^2 — 2xy — y^2 = a(x + y) — (x + y)^2 = (x + y)(a — x — y)\).

б) Группируем и используем формулу квадрата разности:
\(a^2 — 2ab + b^2 — a + b = (a — b)^2 — (a — b) = (a — b)(a — b — 1)\).

в) Преобразуем разность квадратов:
\(a^2 — b^2 — c^2 + 2bc = a^2 — (b — c)^2 = (a — b + c)(a + b — c)\).

г) Представляем как разность квадратов:
\(9a^4 + 6a^2c + c^2 — 9 = (3a^2 + c)^2 — 3^2 = (3a^2 + c — 3)(3a^2 + c + 3)\).

д) Вынесем \(m\), затем применим формулу разности квадратов:
\(ma^2 — m^3 — 2m^2 — m = m(a^2 — (m + 1)^2) = m(a — m — 1)(a + m + 1)\).

е) Вынесем \(x\), затем применим формулу разности квадратов:
\(4x^5 + 4x^3y + xy^2 — 4x = x((2x^2 + y)^2 — 2^2) = x(2x^2 + y — 2)(2x^2 + y + 2)\).

а) В выражении \(ax + ay — x^{2} — 2xy — y^{2}\) сначала сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общие множители. Заметим, что первые два слагаемых содержат \(a\), а остальные — квадраты и произведения \(x\) и \(y\). Запишем это как \(a(x + y) — (x^{2} + 2xy + y^{2})\). Выражение в скобках — это полный квадрат суммы \(x + y\), то есть \((x + y)^{2}\). Таким образом, исходное выражение перепишется как разность \(a(x + y) — (x + y)^{2}\).

Далее вынесем общий множитель \(x + y\) за скобки: \(a(x + y) — (x + y)^{2} = (x + y)(a — (x + y))\). Это и есть искомое разложение на множители. Такой подход позволяет упростить исходное выражение, выделив общий множитель, что облегчает дальнейшие преобразования.

Таким образом, окончательный ответ: \( (x + y)(a — x — y) \).

б) Рассмотрим выражение \(a^{2} — 2ab + b^{2} — a + b\). Сначала выделим полный квадрат: \(a^{2} — 2ab + b^{2} = (a — b)^{2}\). Оставшиеся слагаемые \(-a + b\) можно переписать как \(-(a — b)\). Теперь выражение выглядит как разность квадрата и линейного выражения: \((a — b)^{2} — (a — b)\).

Выносим общий множитель \(a — b\): \((a — b)^{2} — (a — b) = (a — b)((a — b) — 1) = (a — b)(a — b — 1)\). Такой способ разложения основан на группировке и выделении общего множителя, что упрощает структуру выражения.

Итоговое разложение: \( (a — b)(a — b — 1) \).

в) В выражении \(a^{2} — b^{2} — c^{2} + 2bc\) обратим внимание на часть, содержащую \(b\) и \(c\): \(- b^{2} — c^{2} + 2bc\). Ее можно переписать как \(- (b^{2} — 2bc + c^{2})\), что является отрицанием полного квадрата разности \((b — c)^{2}\).

Таким образом, исходное выражение преобразуется в \(a^{2} — (b — c)^{2}\). Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле \(x^{2} — y^{2} = (x — y)(x + y)\). Здесь \(x = a\), \(y = b — c\).

Следовательно, \(a^{2} — (b — c)^{2} = (a — (b — c))(a + (b — c)) = (a — b + c)(a + b — c)\). Это классический прием разложения разности квадратов, который позволяет упростить выражение.

Итог: \( (a — b + c)(a + b — c) \).

г) Рассмотрим выражение \(9a^{4} + 6a^{2}c + c^{2} — 9\). Первые три слагаемых составляют полный квадрат: \(9a^{4} + 6a^{2}c + c^{2} = (3a^{2} + c)^{2}\). Тогда исходное выражение можно записать как разность квадратов: \((3a^{2} + c)^{2} — 3^{2}\).

По формуле разности квадратов \(x^{2} — y^{2} = (x — y)(x + y)\), получаем: \((3a^{2} + c — 3)(3a^{2} + c + 3)\). Этот прием позволяет разложить сложное выражение на произведение двух двучленов.

Ответ: \( (3a^{2} + c — 3)(3a^{2} + c + 3) \).

д) В выражении \(ma^{2} — m^{3} — 2m^{2} — m\) сначала вынесем общий множитель \(m\): \(m(a^{2} — m^{2} — 2m — 1)\). Далее внутри скобок сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: \(m^{2} + 2m + 1 = (m + 1)^{2}\).

Тогда выражение внутри скобок запишется как \(a^{2} — (m + 1)^{2}\), что является разностью квадратов. По формуле разности квадратов это равно \((a — (m + 1))(a + (m + 1))\).

В итоге получаем: \(m(a — m — 1)(a + m + 1)\). Этот способ разложения использует вынесение общего множителя и формулу разности квадратов для упрощения выражения.

Ответ: \(m(a — m — 1)(a + m + 1)\).

е) В выражении \(4x^{5} + 4x^{3}y + xy^{2} — 4x\) первым шагом вынесем общий множитель \(x\): \(x(4x^{4} + 4x^{2}y + y^{2} — 4)\). Внутри скобок заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат: \((2x^{2} + y)^{2} = 4x^{4} + 4x^{2}y + y^{2}\).

Тогда выражение внутри скобок перепишется как \((2x^{2} + y)^{2} — 2^{2}\), что является разностью квадратов. По формуле разности квадратов это равно \((2x^{2} + y — 2)(2x^{2} + y + 2)\).

Итоговое разложение: \(x(2x^{2} + y — 2)(2x^{2} + y + 2)\). Такой подход позволяет упростить исходное выражение, выделив общий множитель и применив формулу разности квадратов.