ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 892 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2\);

б) \(xy^2 + x^2y — x^3 — y^3\);

в) \(n^4 + an^3 — n — a\);

г) \(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\).

а) \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) =\)
\(= (a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b) = (a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab) =\)
\(= (a + b)(a^2 — 2ab + b^2) = (a + b)(a — b)^2\).

б) \(xy^2 + x^2y — x^3 — y^3 = (xy^2 + x^2y) — (x^3 + y^3) =\)
\(= xy(y + x) — (x + y)(x^2 — xy + y^2) = (x + y)(xy — x^2 + xy — y^2) =\)
\(= (x + y)(2xy — x^2 — y^2) = -(x + y)(x — y)^2\).

в) \(n^4 + an^3 — n — a = n^3(n + a) — 1(n + a) = (n + a)(n^3 — 1) =\)
\(= (n + a)(n — 1)(n^2 + n + 1)\).

г) \(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 = (a — b)^3\).

а) Выражение \(a^3 + b^3 — a^2b — ab^2\) сначала разбиваем на две группы: \(a^3 + b^3\) и \(- a^2b — ab^2\). Первая группа — это сумма кубов, которая раскладывается на множители по формуле: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Во второй группе можно вынести общий множитель \(ab\), получим \(ab(a + b)\). Таким образом, исходное выражение переписывается как разность двух выражений с общим множителем \(a + b\): \((a + b)(a^2 — ab + b^2) — ab(a + b)\).

Далее выносим общий множитель \(a + b\) за скобки: \((a + b)(a^2 — ab + b^2 — ab)\). Внутри скобок складываем похожие слагаемые: \(- ab — ab = — 2ab\), получается \(a^2 — 2ab + b^2\). Это выражение известно как полный квадрат разности: \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\). Таким образом, итоговое разложение будет выглядеть как произведение двух множителей: \((a + b)(a — b)^2\).

Такое разложение позволяет упростить исходное выражение и понять его структуру через сумму и разность, а также через квадрат разности. Это полезно для дальнейших преобразований и вычислений.

б) В выражении \(xy^2 + x^2y — x^3 — y^3\) сначала группируем слагаемые так: \(xy^2 + x^2y\) и \(- x^3 — y^3\). В первом блоке можно вынести общий множитель \(xy\), что даёт \(xy(y + x)\). Во втором блоке распознаём сумму кубов \(x^3 + y^3\), которая раскладывается как \((x + y)(x^2 — xy + y^2)\). Тогда выражение переписывается в виде: \(xy(y + x) — (x + y)(x^2 — xy + y^2)\).

Далее выделяем общий множитель \((x + y)\): \((x + y)(xy — (x^2 — xy + y^2))\). Внутри скобок раскрываем скобки и складываем: \(xy — x^2 + xy — y^2 = 2xy — x^2 — y^2\). Это выражение можно представить как отрицательное от квадрата разности: \(2xy — x^2 — y^2 = — (x^2 — 2xy + y^2) = — (x — y)^2\). Значит, итоговое разложение принимает вид \(-(x + y)(x — y)^2\).

Такой подход помогает выявить скрытую структуру выражения и позволяет представить его в виде произведения, что упрощает анализ и вычисления.

в) В выражении \(n^4 + an^3 — n — a\) сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \(n^4 + an^3\) и \(- n — a\). В первой группе можно вынести множитель \(n^3\), получаем \(n^3(n + a)\). Во второй группе вынесем \(-1\), получим \(-1(n + a)\). Теперь видим общий множитель \((n + a)\), который можно вынести за скобки: \((n + a)(n^3 — 1)\).

Выражение \(n^3 — 1\) — разность кубов, которая раскладывается как \((n — 1)(n^2 + n + 1)\). В итоге итоговое разложение принимает вид: \((n + a)(n — 1)(n^2 + n + 1)\). Это классическая формула для разности кубов, которая позволяет упростить исходное выражение.

Такое разложение полезно, когда нужно упростить выражение или найти его корни.

г) Выражение \(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\) совпадает с формулой куба разности: \((a — b)^3\). Это известное тождество, которое раскрывается как \(a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\). Таким образом, исходное выражение уже является разложением на множители и равно \((a — b)^3\).

Это позволяет сразу записать результат без дополнительных преобразований и использовать его для дальнейших вычислений.