ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 891 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(a^3 + a^2 — a — 1\);

б) \(b^2 — bc — a^2 + ac\);

в) \(ab^2 + cd^2 — ad^2 — b^2c\);

г) \(x^2y^2 + 1 — y^2 — x^2\).

а) \(a^3 + a^2 — a — 1 = a^2(a + 1) — (a + 1) = (a + 1)(a^2 — 1) =\)
\(= (a + 1)(a — 1)(a + 1) = (a + 1)^2 (a — 1)\).

б) \(b^2 — bc — a^2 + ac = (b^2 — a^2) — (bc — ac) = (b — a)(b + a) — c(b — a) =\)
\(= (b — a)(b + a — c)\).

в) \(ab^2 + cd^2 — ad^2 — b^2 c = (ab^2 — ad^2) — (b^2 c — cd^2) =\)
\(= a(b^2 — d^2) — c(b^2 — d^2) = (a — c)(b^2 — d^2) = (a — c)(b — d)(b + d)\).

г) \(x^2 y^2 + 1 — y^2 — x^2 = (x^2 y^2 — y^2) — (x^2 — 1) =\)
\(= y^2(x^2 — 1) — (x^2 — 1) = (y^2 — 1)(x^2 — 1) = (y — 1)(y + 1)(x — 1)(x + 1)\).

а) Рассмотрим выражение \(a^3 + a^2 — a — 1\). Сначала сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель: \(a^3 + a^2\) и \(-a — 1\). В первой группе можно вынести \(a^2\), а во второй — \(-1\). Получим \(a^2(a + 1) — 1(a + 1)\). Теперь видно, что в обеих частях есть общий множитель \(a + 1\). Вынесем его за скобки: \((a + 1)(a^2 — 1)\). Выражение \(a^2 — 1\) — разность квадратов, которую раскладываем как \((a — 1)(a + 1)\). Подставляем обратно и получаем \((a + 1)(a — 1)(a + 1)\). Умножение одинаковых множителей можно записать как квадрат: \((a + 1)^2 (a — 1)\).

б) В выражении \(b^2 — bc — a^2 + ac\) сгруппируем по парам: \(b^2 — a^2\) и \(-bc + ac\). В первой группе видим разность квадратов, которую разложим как \((b — a)(b + a)\). Во второй группе можно вынести общий множитель \(c\) с учётом знака: \(-c(b — a)\). Теперь выражение выглядит как \((b — a)(b + a) — c(b — a)\). В обеих частях есть множитель \((b — a)\), который можно вынести за скобки: \((b — a)(b + a — c)\).

в) Для \(ab^2 + cd^2 — ad^2 — b^2 c\) сначала сгруппируем слагаемые: \((ab^2 — ad^2)\) и \((cd^2 — b^2 c)\). В первой группе вынесем \(a\), во второй — \(c\), учитывая знаки: \(a(b^2 — d^2) + c(d^2 — b^2)\). Обратите внимание, что \(d^2 — b^2 = -(b^2 — d^2)\), поэтому перепишем вторую часть как \(- c(b^2 — d^2)\). Теперь выражение принимает вид \(a(b^2 — d^2) — c(b^2 — d^2)\). Вынесем общий множитель \((b^2 — d^2)\): \((a — c)(b^2 — d^2)\). Выражение \(b^2 — d^2\) — разность квадратов, раскладываем как \((b — d)(b + d)\). Итог: \((a — c)(b — d)(b + d)\).

г) В выражении \(x^2 y^2 + 1 — y^2 — x^2\) сгруппируем так: \((x^2 y^2 — y^2)\) и \((1 — x^2)\). В первой группе вынесем \(y^2\): \(y^2 (x^2 — 1)\). Во второй группе перепишем как \(-(x^2 — 1)\). Теперь выражение выглядит как \(y^2 (x^2 — 1) — (x^2 — 1)\). Вынесем общий множитель \((x^2 — 1)\): \((y^2 — 1)(x^2 — 1)\). Оба выражения — разности квадратов, раскладываем как \((y — 1)(y + 1)(x — 1)(x + 1)\).