ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 888 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(x^8 — y^8\);

б) \(a^8 — b^4\);

в) \(x^4 — x^8\);

г) \(a^0 — 1\);

д) \(x^6 — 2^6\);

е) \(a^6 — 1\).

а) \(x^8 — y^8 = (x^4 — y^4)(x^4 + y^4) = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) =\)
\(= (x — y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)\).

б) \(a^8 — b^4 = (a^4 — b^2)(a^4 + b^2) = (a^2 — b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)\).

в) \(x^4 — x^8 = x^4(1 — x^4) = x^4(1 — x^2)(1 + x^2) =\)
\(= x^4(1 — x)(1 + x)(1 + x^2)\).

г) \(a^9 — 1 = (a^3 — 1)(a^6 + a^3 + 1) = (a — 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)\).

д) \(x^6 — 2^6 = (x^3 — 2^3)(x^3 + 2^3) =\)
\(= (x — 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 — 2x + 4)\).

е) \(a^6 — 1 = (a^3 — 1)(a^3 + 1) = (a — 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)\).

а) Выражение \(x^8 — y^8\) представляет собой разность степеней с одинаковыми основаниями. Для начала применим формулу разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Здесь можно представить \(x^8\) как \((x^4)^2\), а \(y^8\) как \((y^4)^2\), тогда

\(x^8 — y^8 = (x^4)^2 — (y^4)^2 = (x^4 — y^4)(x^4 + y^4)\).

Далее раскладываем \(x^4 — y^4\) по той же формуле:

\(x^4 — y^4 = (x^2)^2 — (y^2)^2 = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2)\).

И ещё раз применяем разность квадратов к \(x^2 — y^2\):

\(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).

Таким образом, итоговое разложение будет:

\(x^8 — y^8 = (x — y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)\).

б) В выражении \(a^8 — b^4\) заметим, что это разность квадратов, если представить \(a^8\) как \((a^4)^2\), а \(b^4\) как \((b^2)^2\). Значит,

\(a^8 — b^4 = (a^4)^2 — (b^2)^2 = (a^4 — b^2)(a^4 + b^2)\).

Далее раскладываем первый множитель по формуле разности квадратов:

\(a^4 — b^2 = (a^2)^2 — (b)^2 = (a^2 — b)(a^2 + b)\).

Второй множитель \(a^4 + b^2\) не раскладывается на вещественные множители. Итоговое разложение:

\(a^8 — b^4 = (a^2 — b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)\).

в) В выражении \(x^4 — x^8\) сначала вынесем общий множитель \(x^4\):

\(x^4 — x^8 = x^4(1 — x^4)\).

Далее применим формулу разности квадратов к \(1 — x^4\):

\(1 — x^4 = (1)^2 — (x^2)^2 = (1 — x^2)(1 + x^2)\).

Продолжаем раскладывать \(1 — x^2\) по формуле разности квадратов:

\(1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)\).

Итоговый результат:

\(x^4 — x^8 = x^4(1 — x)(1 + x)(1 + x^2)\).

г) Выражение \(a^9 — 1\) можно рассмотреть как разность кубов, если представить \(a^9\) как \((a^3)^3\), а 1 как \(1^3\):

\(a^9 — 1 = (a^3)^3 — 1^3 = (a^3 — 1)(a^6 + a^3 + 1)\).

Далее раскладываем \(a^3 — 1\) по формуле разности кубов:

\(a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)\).

Множитель \(a^6 + a^3 + 1\) дальше не раскладывается на простые множители. Итоговое разложение:

\(a^9 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)\).

д) В выражении \(x^6 — 2^6\) видим разность квадратов, если представить \(x^6\) как \((x^3)^2\), а \(2^6\) как \((2^3)^2\):

\(x^6 — 2^6 = (x^3)^2 — (2^3)^2 = (x^3 — 2^3)(x^3 + 2^3)\).

Далее раскладываем разность кубов \(x^3 — 2^3\):

\(x^3 — 2^3 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)\).

И сумму кубов \(x^3 + 2^3\):

\(x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 — 2x + 4)\).

Итоговое разложение:

\(x^6 — 2^6 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 — 2x + 4)\).

е) Выражение \(a^6 — 1\) можно представить как разность квадратов, если представить \(a^6\) как \((a^3)^2\), а 1 как \(1^2\):

\(a^6 — 1 = (a^3)^2 — 1^2 = (a^3 — 1)(a^3 + 1)\).

Далее раскладываем разность кубов \(a^3 — 1\):

\(a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)\).

И сумму кубов \(a^3 + 1\):

\(a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 — a + 1)\).

Итоговое разложение:

\(a^6 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 — a + 1)\).