ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 887 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(a^4 — b^4\);

б) \(x^4 — x^2\);

в) \(n^4 — 16\);

г) \(a^4 — 9a^2\);

д) \(1 — c^4\);

е) \(x^2 — 16x^4\).

а) \(a^4 — b^4 = (a^2)^2 — (b^2)^2 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2) = (a — b)(a + b)(a^2 + b^2)\).

б) \(x^4 — x^2 = x^2(x^2 — 1) = x^2(x — 1)(x + 1)\).

в) \(n^4 — 16 = (n^2)^2 — 4^2 = (n^2 — 4)(n^2 + 4) = (n — 2)(n + 2)(n^2 + 4)\).

г) \(a^4 — 9a^2 = a^2(a^2 — 9) = a^2(a — 3)(a + 3)\).

д) \(1 — c^4 = 1^2 — (c^2)^2 = (1 — c^2)(1 + c^2) = (1 — c)(1 + c)(1 + c^2)\).

е) \(x^2 — 16x^4 = x^2(1 — 16x^2) = x^2(1 — 4x)(1 + 4x)\).

а) Выражение \(a^{4} — b^{4}\) представляет собой разность двух степеней четвертой степени. Для разложения на множители удобно использовать формулу разности квадратов, поскольку \(a^{4} = (a^{2})^{2}\) и \(b^{4} = (b^{2})^{2}\). Таким образом, можно записать \(a^{4} — b^{4} = (a^{2})^{2} — (b^{2})^{2}\), что равно \((a^{2} — b^{2})(a^{2} + b^{2})\). Первый множитель \(a^{2} — b^{2}\) также является разностью квадратов и раскладывается как \((a — b)(a + b)\). Второй множитель \(a^{2} + b^{2}\) не раскладывается в действительных числах. В итоге получаем полный разложенный вид: \(a^{4} — b^{4} = (a — b)(a + b)(a^{2} + b^{2})\).

б) В выражении \(x^{4} — x^{2}\) сначала выделим общий множитель \(x^{2}\), так как оба слагаемых содержат степень \(x\) не ниже второй. Получаем \(x^{4} — x^{2} = x^{2}(x^{2} — 1)\). Внутри скобок стоит разность квадратов, так как \(x^{2} — 1 = (x)^{2} — (1)^{2}\). Это раскладывается по формуле разности квадратов в \((x — 1)(x + 1)\). Таким образом, итоговый вид разложения: \(x^{4} — x^{2} = x^{2}(x — 1)(x + 1)\).

в) Рассмотрим \(n^{4} — 16\). Здесь \(16\) — это квадрат числа 4, а \(n^{4} = (n^{2})^{2}\), значит, это разность квадратов: \(n^{4} — 16 = (n^{2})^{2} — 4^{2} = (n^{2} — 4)(n^{2} + 4)\). Первый множитель \(n^{2} — 4\) — снова разность квадратов, которую можно разложить как \((n — 2)(n + 2)\). Второй множитель \(n^{2} + 4\) нельзя разложить в действительных числах. Итоговое разложение: \(n^{4} — 16 = (n — 2)(n + 2)(n^{2} + 4)\).

г) В выражении \(a^{4} — 9a^{2}\) сначала вынесем общий множитель \(a^{2}\), так как он присутствует в обоих слагаемых: \(a^{4} — 9a^{2} = a^{2}(a^{2} — 9)\). Внутри скобок разность квадратов, так как \(a^{2} — 9 = (a)^{2} — (3)^{2}\), которая раскладывается в \((a — 3)(a + 3)\). Конечный результат: \(a^{4} — 9a^{2} = a^{2}(a — 3)(a + 3)\).

д) Для \(1 — c^{4}\) используем формулу разности квадратов, так как \(1 = 1^{2}\) и \(c^{4} = (c^{2})^{2}\). Получаем \(1 — c^{4} = 1^{2} — (c^{2})^{2} = (1 — c^{2})(1 + c^{2})\). Первый множитель \(1 — c^{2}\) также разность квадратов, которую раскладываем как \((1 — c)(1 + c)\). Второй множитель \(1 + c^{2}\) не раскладывается в действительных числах. Итог: \(1 — c^{4} = (1 — c)(1 + c)(1 + c^{2})\).

е) В выражении \(x^{2} — 16x^{4}\) вынесем общий множитель \(x^{2}\): \(x^{2} — 16x^{4} = x^{2}(1 — 16x^{2})\). Внутри скобок снова разность квадратов, так как \(1 = 1^{2}\) и \(16x^{2} = (4x)^{2}\). Значит, \(1 — 16x^{2} = (1 — 4x)(1 + 4x)\). В итоге: \(x^{2} — 16x^{4} = x^{2}(1 — 4x)(1 + 4x)\).