ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 886 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(2x^3 + 2y^3\);

б) \(-3a^3 — 3b^3\);

в) \(am^3 — an^3\);

г) \(2m^3 — 16\);

д) \(5 + 5b^3\);

е) \(-c^4 + 27c\).

а) Вынесем 2: \(2x^3 + 2y^3 = 2(x^3 + y^3)\).
Применим формулу суммы кубов: \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\).
Ответ: \(2(x + y)(x^2 — xy + y^2)\).

б) Вынесем \(-3\): \(-3a^3 — 3b^3 = -3(a^3 + b^3)\).
Применим формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\).
Ответ: \(-3(a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

в) Вынесем \(a\): \(am^3 — an^3 = a(m^3 — n^3)\).
Применим формулу разности кубов: \(m^3 — n^3 = (m — n)(m^2 + mn + n^2)\).
Ответ: \(a(m — n)(m^2 + mn + n^2)\).

г) Вынесем 2: \(2m^3 — 16 = 2(m^3 — 8)\).
Применим формулу разности кубов: \(m^3 — 2^3 = (m — 2)(m^2 + 2m + 4)\).
Ответ: \(2(m — 2)(m^2 + 2m + 4)\).

д) Вынесем 5: \(5 + 5b^3 = 5(1 + b^3)\).
Применим формулу суммы кубов: \(1 + b^3 = (1 + b)(1 — b + b^2)\).
Ответ: \(5(1 + b)(1 — b + b^2)\).

е) Вынесем \(c\): \(-c^4 + 27c = c(-c^3 + 27) = c(27 — c^3)\).
Применим формулу разности кубов: \(27 — c^3 = (3 — c)(9 + 3c + c^2)\).
Ответ: \(c(3 — c)(9 + 3c + c^2)\).

а) Рассмотрим выражение \(2x^3 + 2y^3\). Первым шагом выделим общий множитель 2, так как оба слагаемых содержат этот множитель: \(2(x^3 + y^3)\). Это упрощает выражение и позволяет сосредоточиться на разложении суммы кубов внутри скобок. Далее применим формулу суммы кубов, которая гласит, что сумма кубов двух чисел \(x^3 + y^3\) равна произведению суммы этих чисел на определённый трёхчлен: \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\). Эта формула вытекает из разложения произведения и сокращения одинаковых членов, что можно проверить путём раскрытия скобок. Таким образом, мы представляем исходное выражение как произведение трех множителей: \(2\), \(x + y\) и \(x^2 — xy + y^2\). Итоговое разложение: \(2(x + y)(x^2 — xy + y^2)\).

б) В выражении \(-3a^3 — 3b^3\) первым действием является вынесение общего множителя \(-3\), что даёт \(-3(a^3 + b^3)\). Это позволяет упростить задачу, сосредоточившись на разложении суммы кубов в скобках. Формула суммы кубов для двух чисел \(a^3 + b^3\) выражается как произведение суммы и трёхчлена: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\). Данная формула важна, так как она позволяет представить сумму кубов в виде произведения более простых множителей, что облегчает дальнейшие операции с выражением. Итоговый вид разложения: \(-3(a + b)(a^2 — ab + b^2)\).

в) В выражении \(am^3 — an^3\) первым шагом вынесем общий множитель \(a\), получая \(a(m^3 — n^3)\). Теперь сосредоточимся на разложении разности кубов \(m^3 — n^3\). Формула разности кубов гласит, что \(m^3 — n^3 = (m — n)(m^2 + mn + n^2)\). Эта формула основана на разложении произведения, где при раскрытии скобок происходит сокращение и получается исходное выражение. Таким образом, исходное выражение представляется как произведение трёх множителей: \(a\), \(m — n\) и \(m^2 + mn + n^2\). Итоговое разложение: \(a(m — n)(m^2 + mn + n^2)\).

г) Рассмотрим выражение \(2m^3 — 16\). Сначала выделим общий множитель 2, что даёт \(2(m^3 — 8)\). Внутри скобок находится разность кубов, так как \(8 = 2^3\). Формула разности кубов гласит, что \(m^3 — 2^3 = (m — 2)(m^2 + 2m + 4)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение как произведение двух множителей: линейного \(m — 2\) и квадратичного \(m^2 + 2m + 4\). Такое представление удобно для дальнейших преобразований или вычислений. Итоговое разложение: \(2(m — 2)(m^2 + 2m + 4)\).

д) В выражении \(5 + 5b^3\) выделим общий множитель 5, получая \(5(1 + b^3)\). Теперь применим формулу суммы кубов к выражению \(1 + b^3\). Формула суммы кубов для чисел 1 и \(b\) равна \(1 + b^3 = (1 + b)(1 — b + b^2)\). Это разложение представляет сумму кубов как произведение линейного и квадратичного множителей, что удобно для упрощения и дальнейших операций. Итоговое разложение: \(5(1 + b)(1 — b + b^2)\).

е) Рассмотрим выражение \(-c^4 + 27c\). Сначала вынесем общий множитель \(c\), получая \(c(-c^3 + 27) = c(27 — c^3)\). Внутри скобок находится разность кубов, так как \(27 = 3^3\). Формула разности кубов гласит, что \(27 — c^3 = (3 — c)(9 + 3c + c^2)\). Это разложение позволяет представить исходное выражение в виде произведения трёх множителей: \(c\), \(3 — c\) и \(9 + 3c + c^2\). Такое представление значительно упрощает работу с выражением и даёт возможность дальнейших преобразований. Итоговый вид: \(c(3 — c)(9 + 3c + c^2)\).