ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 885 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(3a^2 — 6a + 3\);

б) \(ay^2 — 2ay + a\);

в) \(8x^2 + 16xy + 8y^2\);

г) \(-2a^2 — 4ab — 2b^2\);

д) \(nx^2 + 4nx + 4n\);

е) \(4x^2y — 4xy + y\).

а) Вынесем 3: \(3a^2 — 6a + 3 = 3(a^2 — 2a + 1)\).
Квадрат двучлена: \(a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2\).
Ответ: \(3(a — 1)^2\).

б) Вынесем \(a\): \(ay^2 — 2ay + a = a(y^2 — 2y + 1)\).
Квадрат двучлена: \(y^2 — 2y + 1 = (y — 1)^2\).
Ответ: \(a(y — 1)^2\).

в) Вынесем 8: \(8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)\).
Квадрат двучлена: \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\).
Ответ: \(8(x + y)^2\).

г) Вынесем \(-2\): \(-2a^2 — 4ab — 2b^2 = -2(a^2 + 2ab + b^2)\).
Квадрат двучлена: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).
Ответ: \(-2(a + b)^2\).

д) Вынесем \(n\): \(nx^2 + 4nx + 4n = n(x^2 + 4x + 4)\).
Квадрат двучлена: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\).
Ответ: \(n(x + 2)^2\).

е) Вынесем \(y\): \(4x^2y — 4xy + y = y(4x^2 — 4x + 1)\).
Квадрат двучлена: \(4x^2 — 4x + 1 = (2x — 1)^2\).
Ответ: \(y(2x — 1)^2\).

а) Рассмотрим многочлен \(3a^2 — 6a + 3\). Для начала обратим внимание на коэффициенты при каждом слагаемом. Все они делятся на число 3, значит, можно вынести этот множитель за скобки, чтобы упростить выражение. Вынесем 3: \(3(a^2 — 2a + 1)\). Теперь внутри скобок — квадратный трехчлен \(a^2 — 2a + 1\). Чтобы разложить его на множители, попробуем представить его в виде квадрата двучлена. Формула квадратного двучлена: \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Сравнивая, видим, что \(a^2 — 2a + 1\) совпадает с формой \((a — 1)^2\), так как \(a^2\) — квадрат первого члена, \(-2a\) — двойной произведение \(a\) и 1, а 1 — квадрат второго члена. Значит, исходное выражение можно записать как \(3(a — 1)^2\), что является разложением на множители.

б) Возьмём выражение \(ay^2 — 2ay + a\). Здесь каждый член содержит множитель \(a\), который можно вынести за скобки, чтобы упростить выражение: \(a(y^2 — 2y + 1)\). Теперь внутри скобок — квадратный трехчлен по переменной \(y\). Чтобы разложить его, проверим, можно ли представить его в виде квадрата двучлена. Формула квадрата двучлена: \((y — 1)^2 = y^2 — 2y + 1\). Это совпадает с нашим выражением, значит, \(y^2 — 2y + 1\) — полный квадрат. Следовательно, исходное выражение равно \(a(y — 1)^2\).

в) Рассмотрим многочлен \(8x^2 + 16xy + 8y^2\). Первым шагом выделим общий множитель 8, так как все коэффициенты делятся на 8: \(8(x^2 + 2xy + y^2)\). Теперь внутри скобок находится квадратный трехчлен, который можно проверить на полноту квадрата. Формула квадрата двучлена: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Наше выражение совпадает с этой формулой, значит, \(x^2 + 2xy + y^2\) — полный квадрат двучлена. Итоговое разложение: \(8(x + y)^2\).

г) Рассмотрим выражение \(-2a^2 — 4ab — 2b^2\). Здесь можно вынести общий множитель \(-2\): \(-2(a^2 + 2ab + b^2)\). Внутри скобок квадратный трехчлен, который можно проверить на полный квадрат. Формула квадрата двучлена: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Наше выражение полностью совпадает с формулой, значит, исходное выражение равно \(-2(a + b)^2\).

д) Возьмём выражение \(nx^2 + 4nx + 4n\). Вынесем общий множитель \(n\): \(n(x^2 + 4x + 4)\). Теперь рассмотрим квадратный трехчлен в скобках. Проверим, можно ли представить его как квадрат двучлена. Формула: \((x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4\). Наше выражение совпадает с формулой, значит, исходное выражение равно \(n(x + 2)^2\).

е) Рассмотрим многочлен \(4x^2y — 4xy + y\). Вынесем общий множитель \(y\): \(y(4x^2 — 4x + 1)\). Теперь внутри скобок квадратный трехчлен, который можно проверить на полноту квадрата. Формула квадрата двучлена: \((2x — 1)^2 = 4x^2 — 4x + 1\). Наше выражение совпадает с формулой, значит, исходное выражение равно \(y(2x — 1)^2\).