ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 884 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители

а) \(3a^2 — 3b^2\);

б) \(12m^2 — 12n^2\);

в) \(ax^2 — ay^2\);

г) \(2a^2x — 2b^2x\);

д) \(5x^2 — 5\);

е) \(2a^2 — 8\);

ж) \(3a^2 — 27a\);

з) \(2xy^2 — 50x\);

и) \(x^3 — 9x\);

к) \(3y^3 — 3y\);

л) \(2a^3 — 8a\);

м) \(40b — 10b^3\).

а) Вынесем 3 за скобки: \(3a^2 — 3b^2 = 3(a^2 — b^2)\).
Разложим разность квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).
Итого: \(3(a — b)(a + b)\).

б) Вынесем 12: \(12m^2 — 12n^2 = 12(m^2 — n^2)\).
Разложим разность квадратов: \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\).
Итого: \(12(m — n)(m + n)\).

в) Вынесем \(a\): \(ax^2 — ay^2 = a(x^2 — y^2)\).
Разложим разность квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).
Итого: \(a(x — y)(x + y)\).

г) Вынесем \(2x\): \(2a^2x — 2b^2x = 2x(a^2 — b^2)\).
Разложим разность квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).
Итого: \(2x(a — b)(a + b)\).

д) Вынесем 5: \(5x^2 — 5 = 5(x^2 — 1)\).
Разложим разность квадратов: \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\).
Итого: \(5(x — 1)(x + 1)\).

е) Вынесем 2: \(2a^2 — 8 = 2(a^2 — 4)\).
Разложим разность квадратов: \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).
Итого: \(2(a — 2)(a + 2)\).

ж) Вынесем \(3a\): \(3an^2 — 27a = 3a(n^2 — 9)\).
Разложим разность квадратов: \(n^2 — 9 = (n — 3)(n + 3)\).
Итого: \(3a(n — 3)(n + 3)\).

з) Вынесем \(2x\): \(2xy^2 — 50x = 2x(y^2 — 25)\).
Разложим разность квадратов: \(y^2 — 25 = (y — 5)(y + 5)\).
Итого: \(2x(y — 5)(y + 5)\).

и) Вынесем \(x\): \(x^3 — 9x = x(x^2 — 9)\).
Разложим разность квадратов: \(x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)\).
Итого: \(x(x — 3)(x + 3)\).

к) Вынесем \(3y\): \(3y^3 — 3y = 3y(y^2 — 1)\).
Разложим разность квадратов: \(y^2 — 1 = (y — 1)(y + 1)\).
Итого: \(3y(y — 1)(y + 1)\).

л) Вынесем \(2a\): \(2a^3 — 8a = 2a(a^2 — 4)\).
Разложим разность квадратов: \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).
Итого: \(2a(a — 2)(a + 2)\).

м) Вынесем \(10b\): \(40b — 10b^3 = 10b(4 — b^2)\).
Разложим разность квадратов: \(4 — b^2 = (2 — b)(2 + b)\).
Итого: \(10b(2 — b)(2 + b)\).

а) Рассмотрим выражение \(3a^2 — 3b^2\). Первым шагом выделим общий множитель — число 3, которое присутствует в обоих слагаемых. Вынесение общего множителя за скобки позволяет упростить выражение и перейти к разложению внутри скобок: \(3(a^2 — b^2)\).

Теперь внутри скобок у нас разность квадратов \(a^2 — b^2\). Известно, что разность квадратов можно разложить по формуле \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Применим эту формулу к нашему случаю, получив \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).

Подставляя обратно, получаем окончательный вид разложения: \(3(a — b)(a + b)\). Таким образом, исходное выражение разложено на множители с помощью вынесения общего множителя и применения формулы разности квадратов.

б) В выражении \(12m^2 — 12n^2\) также заметен общий множитель 12. Вынесем его за скобки: \(12(m^2 — n^2)\). Это упрощает задачу, так как теперь внутри скобок у нас разность квадратов.

Формула разности квадратов гласит, что \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\). Применив её, мы получаем \(12(m — n)(m + n)\).

Таким образом, разложение выражения сводится к двум этапам: сначала выделение общего множителя, затем разложение разности квадратов, что даёт нам итоговый результат.

в) В выражении \(ax^2 — ay^2\) общий множитель — это \(a\). Вынесем его: \(a(x^2 — y^2)\).

Внутри скобок снова разность квадратов \(x^2 — y^2\), которую можно разложить как \((x — y)(x + y)\).

Итоговое разложение: \(a(x — y)(x + y)\). Этот приём широко используется для упрощения выражений, где есть общий множитель и разность квадратов.

г) В выражении \(2a^2x — 2b^2x\) общий множитель — это \(2x\). Вынесем его за скобки: \(2x(a^2 — b^2)\).

Внутри скобок — разность квадратов, которую раскладываем по формуле: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\).

Окончательное разложение: \(2x(a — b)(a + b)\). Такой подход позволяет упростить выражение, выделяя сначала общий множитель, а затем используя формулы для разложения.

д) В выражении \(5x^2 — 5\) общий множитель — это 5. Вынесем его: \(5(x^2 — 1)\).

Внутри скобок — разность квадратов, где \(1 = 1^2\), поэтому \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\).

Итог: \(5(x — 1)(x + 1)\). Это классический пример применения формулы разности квадратов после вынесения общего множителя.

е) В выражении \(2a^2 — 8\) общий множитель — 2. Вынесем его: \(2(a^2 — 4)\).

Разложим разность квадратов \(a^2 — 4\), где \(4 = 2^2\), по формуле: \((a — 2)(a + 2)\).

Получаем итог: \(2(a — 2)(a + 2)\). Этот метод помогает упростить выражение, выделяя общий множитель и используя формулу разности квадратов.

ж) В выражении \(3an^2 — 27a\) общий множитель — \(3a\). Вынесем его: \(3a(n^2 — 9)\).

Разложим разность квадратов \(n^2 — 9\), где \(9 = 3^2\), по формуле: \((n — 3)(n + 3)\).

Итоговое разложение: \(3a(n — 3)(n + 3)\). Это классический пример сочетания вынесения общего множителя и применения формулы разности квадратов.

з) В выражении \(2xy^2 — 50x\) общий множитель — \(2x\). Вынесем его: \(2x(y^2 — 25)\).

Разложим разность квадратов \(y^2 — 25\), где \(25 = 5^2\), как \((y — 5)(y + 5)\).

Итог: \(2x(y — 5)(y + 5)\). Такой подход позволяет упростить выражение, выделяя общий множитель и применяя формулу разности квадратов.

и) В выражении \(x^3 — 9x\) вынесем общий множитель \(x\): \(x(x^2 — 9)\).

Разложим разность квадратов \(x^2 — 9\) по формуле: \((x — 3)(x + 3)\).

Получаем итоговое выражение: \(x(x — 3)(x + 3)\). Это демонстрирует, как можно комбинировать вынесение множителя и формулу разности квадратов.

к) В выражении \(3y^3 — 3y\) общий множитель — \(3y\). Вынесем его: \(3y(y^2 — 1)\).

Разложим разность квадратов \(y^2 — 1\) как \((y — 1)(y + 1)\).

Итог: \(3y(y — 1)(y + 1)\). Этот приём часто используется для упрощения выражений с кубами и квадратами.

л) В выражении \(2a^3 — 8a\) общий множитель — \(2a\). Вынесем его: \(2a(a^2 — 4)\).

Разложим разность квадратов \(a^2 — 4\) как \((a — 2)(a + 2)\).

Итоговое разложение: \(2a(a — 2)(a + 2)\). Это сочетание вынесения множителя и формулы разности квадратов упрощает выражение.

м) В выражении \(40b — 10b^3\) общий множитель — \(10b\). Вынесем его: \(10b(4 — b^2)\).

Разложим разность квадратов \(4 — b^2\), где \(4 = 2^2\), по формуле: \((2 — b)(2 + b)\).

Итог: \(10b(2 — b)(2 + b)\). Такой подход помогает упростить выражение, выделяя общий множитель и применяя формулу разности квадратов.