ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 883 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде многочлена:

а) \((a — b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)\);

б) \((x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)\);

в) \((x — y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 — xy + y^2)\);

г) \((a + b)^2(a^2 — ab + b^2)^2\).

а) \((a — b)(a + b) = (a^2 — b^2)\), тогда выражение равно \((a^2 — b^2)(a^4 + a^2 b^2 + b^4) = a^6 — b^6\).

б) \((x — 1)(x + 1) = (x^2 — 1)\), перемножаем с \(x^2 + 1\): \((x^2 — 1)(x^2 + 1) = x^4 — 1\), умножаем на \(x^8 + x^4 + 1\), получаем \(x^{12} — 1\).

в) \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\), а \((x^2 + xy + y^2)(x^2 — xy + y^2) = x^4 + x^2 y^2 + y^4\), итого \((x^2 — y^2)(x^4 + x^2 y^2 + y^4) = x^6 — y^6\).

г) \((a + b)(a^2 — ab + b^2) = a^3 + b^3\), значит \(((a + b)(a^2 — ab + b^2))^2 = (a^3 + b^3)^2 = a^6 + 2 a^3 b^3 + b^6\).

а) Выражение начинается с произведения \((a — b)(a + b)\). Это классическое разложение разности квадратов, которое равно \(a^{2} — b^{2}\). Далее это выражение умножается на многочлен \(a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}\). Чтобы упростить, нужно раскрыть скобки: \((a^{2} — b^{2})(a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})\). При умножении каждого слагаемого получаем: \(a^{2} \cdot a^{4} = a^{6}\), \(a^{2} \cdot a^{2} b^{2} = a^{4} b^{2}\), \(a^{2} \cdot b^{4} = a^{2} b^{4}\), а также \(-b^{2} \cdot a^{4} = -a^{4} b^{2}\), \(-b^{2} \cdot a^{2} b^{2} = -a^{2} b^{4}\), \(-b^{2} \cdot b^{4} = -b^{6}\).

При сложении этих членов \(a^{4} b^{2}\) и \(-a^{4} b^{2}\), \(a^{2} b^{4}\) и \(-a^{2} b^{4}\) взаимно уничтожаются, остаётся только \(a^{6} — b^{6}\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(a^{6} — b^{6}\).

б) В выражении сначала перемножаем \((x — 1)(x + 1)\), что является разностью квадратов и равно \(x^{2} — 1\). Затем полученное выражение умножаем на \(x^{2} + 1\). Перемножение этих двух многочленов даёт \(x^{4} — 1\), поскольку \((x^{2} — 1)(x^{2} + 1) = x^{4} — 1\). Следующий множитель \(x^{8} + x^{4} + 1\) умножается на \(x^{4} — 1\). Раскрывая скобки, получаем \(x^{4} \cdot x^{8} = x^{12}\), \(x^{4} \cdot x^{4} = x^{8}\), \(x^{4} \cdot 1 = x^{4}\), затем вычитаем \(x^{8}\), \(x^{4}\) и 1. Члены \(x^{8}\) и \(-x^{8}\), \(x^{4}\) и \(-x^{4}\) сокращаются, остаётся \(x^{12} — 1\).

в) В этом выражении сначала перемножаем \((x — y)(x + y)\) — результат разности квадратов \(x^{2} — y^{2}\). Далее перемножаем два многочлена \(x^{2} + xy + y^{2}\) и \(x^{2} — xy + y^{2}\). При раскрытии скобок и упрощении выражения сокращаются все слагаемые с \(xy\), и остаётся \(x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}\). Итоговое произведение принимает вид \((x^{2} — y^{2})(x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4})\), что по формуле из пункта а) равно \(x^{6} — y^{6}\).

г) Рассмотрим произведение \((a + b)(a^{2} — ab + b^{2})\). Это известное разложение суммы кубов, равное \(a^{3} + b^{3}\). Возводим это выражение в квадрат: \((a^{3} + b^{3})^{2}\). При раскрытии квадрата суммы получаем \(a^{6} + 2 a^{3} b^{3} + b^{6}\). Таким образом, исходное выражение упрощается до \(a^{6} + 2 a^{3} b^{3} + b^{6}\).